En ensartet trekant har siderne A, B og C, hvor siderne B og C er ens i længden. Hvis side A går fra (1, 4) til (5, 1) og trekantens område er 15, hvad er de mulige koordinater for trekantets tredje hjørne?

Svar:

De to hjørner udgør en base med længde 5, så højden skal være 6 for at få område 15. Foden er midtpunktet af punkterne, og seks enheder i enten vinkelret retning giver # (33/5, 73/10)# eller #(- 3/5, - 23/10) #.

Forklaring:

Pro tip: Prøv at holde sig til konventionen med små bogstaver til trekantssider og hovedstæder for trekantspunkter.

Vi får to punkter og et område af en ensartet trekant. De to punkter gør basen, # B = sqrt {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5. #

Foden # F # af højden er midtpunktet for de to punkter, #F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

Retningsvektoren mellem punktene er #(1-5, 4-1)=(-4,3)# med størrelsen 5 som blot beregnet. Vi får retningsvektoren for vinkelret ved at bytte punkterne og negere en af dem: #(3,4)# som også skal have størrelse fem.

Siden området # A = frac 1 2 b h = 15 # vi får # H = (2 * 15) /b=6.#

Så vi skal flytte #6# enheder fra # F # i enten vinkelret retning for at få vores tredje hjerte som jeg har kaldt # C #:

# C = F pm 6 frac {(3,4)} {5} = (3, 5/2) pm 6/5 (3,4) #

# C = (33/5, 73/10) eller C = (- 3/5, - 23/10) #

Kontrollere: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

Det underskrevne område er så halvdelen af krydsproduktet

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15 quad sqrt {} #

Det er slutningen, men lad os generalisere svaret lidt. Lad os glemme, at det er ensomt. Hvis vi har C (x, y), er området givet af skoens formel:

# A = frac 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

Området er #15#:

# pm 15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 pm 30 = 3x + 4y #

# 49 = 3x + 4y # eller # -11 = 3x + 4y #

Så hvis vertex C er på en af disse to parallelle linjer, har vi en trekant af område 15.

Lade # PR = A # være den side af det ensidige trekant med koordinater for dets endepunkter som følger

#Pto (1,4) # og #Rto (5,1) #

Lad koordinaterne for tredje punkt af trekanten være # (X, y) #.

Som # (X, y) # er lige fra P og R kan vi skrive

# (X-1) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

# => X ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-8y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-2y + 1 #

# => 8x-6y = 9 #

# => X = (9 + 6y) / 8 …… 1 #

Igen # (X, y) # at være lige fra P og R faldt den vinkelrette fra # (X, y) # til # PR # skal bisect det, Lad denne fod af vinkelret eller midtpunktet af # PR # være # T #

Så koordinater for #Tto (3,2.5) #

Nu højden af den ensidige trekant

# H = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2) #

Og bunden af den ensidige trekant

# PR = A = sqrt ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5 #

Så ved problemet sit område

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30 / R5 = 6 #

#sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2) = 6 #

# => (X-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2 = 36 …. 2 #

Ved 2 og 1 får vi

# ((9 + 6y) / 8-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6y-15) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => (6y-15) ^ 2 + 64 (y-2.5) ^ 2 = 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => Y ^ 2-5y + 6,25 = 4,8 ^ 2 #

# => (Y-2,5) ^ 2 = 4,8 ^ 2 #

# => Y = 2.5pm4.8 #

Så # y = 7,3 og y = -2,3 #

hvornår # Y = 7,3 #

# X = (9 + 6xx7.3) /8=6.6#

hvornår # Y = -2.3 #

# X = (9 + 6xx (-2,3)) / 8 = -0,6 #

Så koordinaterne til tredje punkt vil være

# (6.6,7.3) til "Q i figur" #

ELLER

# (- 0,6, -2,3) til "S i figur" #