Hvilket af følgende har det maksimale antal ægte rødder?

Svar:

# x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 # med #4# rigtige rødder.

Forklaring:

Bemærk at rødderne af:

# ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 #

er en delmængde af forening af rødderne af de to ligninger:

# {(ax ^ 2 + bx + c = 0), (ax ^ 2-bx + c = 0):}

Bemærk, at hvis en af disse to ligninger har et par virkelige rødder, så gør det også den anden, da de har den samme diskriminant:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-b) ^ 2-4ac #

Yderligere bemærkning, at hvis #a, b, c # alle har det samme tegn da # ax ^ 2 + b abs (x) + c # vil altid tage værdier af det tegn når #x# er ægte. Så i vores eksempler siden # A = 1 #, kan vi straks bemærke, at:

# x ^ 2 + 3 abs (x) +2> = 2 #

så har ingen nuller.

Lad os se på de øvrige tre ligninger på tur:

1) # x ^ 2-abs (x) -2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-x-2 = (x-2) (x + 1) => x i {-1, 2}), (0 = x ^ 2 + x-2 = +2) (x-1) => x i {-2, 1}):} #

Forsøger hver af disse, finder vi løsninger #x i {-2, 2} #

3) # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) => x i {1, 2}), (0 = x ^ 2 + 3x + 2 = 1) (x + 2) => x i {-1, -2}):} #

Forsøger hver af disse finder vi alle er løsninger af den oprindelige ligning, dvs. #x i {-2, -1, 1, 2} #

Alternativ metode

Bemærk at ægte rødder af # ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 # (hvor #c! = 0 #) er positive reelle rødder af # ax ^ 2 + bx + c = 0 #.

For at finde ud af, hvilke af de givne ligninger der har de mest virkelige rødder, svarer det til at finde ud af, hvilke af de tilsvarende almindelige kvadratiske ligninger der har mest positive reelle rødder.

En kvadratisk ligning med to positive virkelige rødder har tegn i mønsteret #+ - +# eller #- + -#. I vores eksempel er det første tegn altid positivt.

Af de givne eksempler har kun den anden og tredje koefficienter i mønsteret #+ - +#.

Vi kan rabat den anden ligning # x ^ 2-2 abs (x) + 3 = 0 # da diskriminanten er negativ, men for den tredje ligning finder vi:

# 0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) #

har to positive reelle rødder, der giver #4# ligningens rødder # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #