Hvad er kubens rod af (sqrt3 -i)?

Jeg ville starte med at konvertere nummeret til trigonometrisk form:

# Z = sqrt (3) -i = 2 cos (-pi / 6) + isin (-pi / 6) #

Kubens rod af dette nummer kan skrives som:

# Z ^ (1/3) #

Nu med dette i tankerne bruger jeg formlen til nth-effekten af et komplekst tal i trigonometrisk form:

# Z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + isin (ntheta) # giver:

# Z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 6 * 1/3) + isin (-pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 18) + isin (-pi / 18) #

Hvilket i rektangulære er: # 4.2-0.7i #

Jeg kan ikke helt enig med Giós svar, fordi det er ufuldstændigt og også (formelt) forkert.

Den formelle fejl er i brugen af De Moivre formel med ikke-heltal eksponenter. De Moivre formel kan kun anvendes på heltal eksponenter. Flere detaljer om dette på Wikipedias side

Der finder du en delvis udvidelse af formlen til at håndtere # N #-rødder (det indebærer en ekstra parameter # K #): hvis # z = r (cos theta + i sin theta) #, derefter

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((theta + 2 k pi) / n) + i sin ((theta + 2 k pi) / n)) # hvor # k = 0, …, n-1 #.

En (og i en vis forstand det) meget grundlæggende egenskab af komplekse tal er det # N #-rødder har … # N # rødder (løsninger)! Parameteren # K # (der varierer mellem #0# og # N-1 #, så # N # værdier) lad os opsummere dem i en enkelt formel.

Så kubusrødder har tre løsninger, og det er kun nok at finde en af dem, det er bare "#1/3# af opløsningen ".

Jeg vil skrive mit løsningsforslag nedenfor. Kommentarer er velkomne!

Som Gió korrekt foreslog, udtrykker det første trin # Z = sqrt {3} -i # i dens trigonometriske form #r (cos theta + i sin theta) #. Når man beskæftiger sig med rødder, er den trigonometriske form (næsten) altid et nyttigt værktøj (sammen med den eksponentielle). Du får:

# R = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

Så # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

Nu vil du beregne rødderne. Med formlen beskrevet ovenfor får vi:

# z ^ {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((theta + 2 k pi) / 3) + i sin ((theta + 2 k pi) / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (cos ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3)) #

hvor # k = 0, 1, 2 #. Så der er tre forskellige værdier af # K # (#0#, #1# og #2#), der giver tre forskellige komplekse rødder af # Z #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((pi / 6 + 0) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (-pi / 18) + i sin (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + i sin (-11/18 pi)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sin ((pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + i sin (-23/18 pi)) #

# Z_0 #, # Z_1 # og # Z_2 # er de tre løsninger.

Den geometriske fortolkning af formlen for # N # rødder er meget nyttige til at trække løsningerne i det komplekse plan. Også plottet peger meget pænt på egenskaberne af formlen.

Først og fremmest kan vi bemærke, at alle løsninger har samme afstand # R ^ {1 / n} # (i vores eksempel #2^{1/3}#) fra oprindelsen. Så ligger de alle på en radius omkreds # R ^ {1 / n} #. Nu skal vi påpege hvor at placere dem på denne omkreds. Vi kan omskrive argumenterne fra sinus og cosinus på følgende måde:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (theta / n + (2pi) / nk) + i sin (theta / n + (2pi) / nk)) #

Den "første" rod svarer til # K = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (theta / n) + i sin (theta / n)) #

Alle de andre rødder kan opnås herfra ved at tilføje vinklen # (2pi) / n # rekursivt til vinklen # Theta / n # i forhold til den første rod # Z_0 #. Så vi bevæger os # Z_0 # på omkredsen ved en rotation af # (2pi) / n # radianer (# (360 °) / n #). Så punkterne er placeret på en regelmæssig vinkel # N #Gon. I betragtning af en af dem kan vi finde de andre.

I vores tilfælde:

hvor den blå vinkel er # Theta / n = -pi / 18 # og den magenta er # (2pi) / n = 2/3 pi #.