Hvad er standardformularens ligning for parabolen med en directrix på x = 5 og fokuserer på (11, -7)?

Svar:

Standardformular er:

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 145/12 #

Forklaring:

Fordi direktoren er en lodret linje, #x = 5 #, hvirvelformen for ligningens ligning er:

#x = 1 / (4f) (y-k) ^ 2 + h "1" #

hvor (h, k) er vertexet og #f er den signerede vandrette afstand fra vertexet til fokuset.

Vi ved, at y-koordinatet, k, af vertexet er det samme som y-koordinatet for fokuset:

# k = -7 #

Stedfortræder -7 for k i ligning 1:

#x = 1 / (4f) (y - 7) ^ 2 + h "2" #

Vi ved at x-koordinatet af vertexet er midtpunktet mellem x-koordinatet for fokuset og x-koordinatet for direktoren:

# h = (x_ "fokus" + x_ "directrix") / 2 #

# h = (11 + 5) / 2 #

#h = 16/2 #

#h = 8 #

Erstatning 8 for h i ligning 2:

#x = 1 / (4f) (y - 7) ^ 2 + 8 "3" #

Fokalafstanden er den signerede vandrette afstand fra vertexet til fokuset:

#f = x_ "fokus" -h #

#f = 11-8 #

#f = 3 #

Erstatning 3 for f i ligning 3:

#x = 1 / (4 (3)) (y - 7) ^ 2 + 8 #

Vi vil multiplicere nævneren og skrive - som +

#x = 1/12 (y + 7) ^ 2 + 8 #

Udvid firkanten:

#x = 1/12 (y ^ 2 + 14y + 49) + 8 #

Distribuere #1/12#

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 49/12 + 8 #

Kombiner de konstante termer:

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 145/12 #

Svar:

# X = y ^ 2/12 + 7 / 6y + 145/12 #

Forklaring:

ledelinje # X = 5 #

Fokus #(11, -7)#

Herfra kan vi finde ud af vertexet.

Se på diagrammet

Vertex ligger lige mellem Directrix og Focus

# x, y = (5 + 11) / 2, (-7 + (-7)) / 2 = (8, -7) #

Afstanden mellem Focus og vertex er # A = 3 #

Parabolen åbner til højre

Ligningen af Parabola her er -

# (Y-k) ^ 2 = 4a (x-h) #

# (H, k) # er vertexet

# H = 8 #

# K = -7 #

Plugin # H = 8; k = -7 og a = 3 # i ligningen

# (Y - (- 7)) ^ 2 = 4,3 (x-8) #

# (Y + 7) ^ 2 = 4,3 (x-8) #

# 12x-96 = y ^ 2 + 14y + 49 # ved transponering

# 12x = y ^ 2 + 14y + 49 + 96 #

# 12x = y ^ 2 + 14y + 145 #

# X = y ^ 2/12 + 14 / 12y + 145/12 #

# X = y ^ 2/12 + 7 / 6y + 145/12 #