Hvad er orthocenteret af en trekant med hjørner på O (0,0), P (a, b) og Q (c, d) #?

Svar:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Forklaring:

Jeg har generaliseret dette gamle spørgsmål snarere end at spørge en ny. Jeg gjorde dette før for et circumcenter spørgsmål og intet dårligt skete, så jeg fortsætter serien.

Som før sætter jeg et hjertepunkt på oprindelsen for at forsøge at holde algebraet kanter. En vilkårlig trekant er let oversat og resultatet oversættes let igen.

Orthocenteret er skæringspunktet for højderne af en trekant. Dens eksistens er baseret på sætningen, at højderne af en trekant skærer på et punkt. Vi siger de tre højder er samtidige.

Lad os bevise højderne af trekant OPQ er samtidige.

Retningsvektoren for side OP er # P-O = P = (a, b), # som er bare en fancy måde at sige hældningen er # B / en # (men retningsvektoren virker også når # A = 0 #). Vi får retningsvektoren for den vinkelrette ved at bytte koordinater og negere en her # (B, -a). # Vinkelret bekræftes af nulpunktsproduktet:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

Den parametriske ligning af højden fra OP til Q er således:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) quad # for ægte # T #

Højden fra OQ til P er på samme måde

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # for ægte # U #

Retningsvektoren for PQ er # Q-P = (c-a, d-b) #. Den vinkelrette gennem oprindelsen, dvs. højden fra PQ, er således

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # for ægte # V #

Lad os se på mødet af højderne fra OP og PQ:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c)

Det er to ligninger i to ukendte, # T # og # V #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

Vi multiplicerer den første by #en# og den anden ved # B #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

Tilføjelse, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad-ab + ab-bc)

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

Måde afkøles med prikken i tælleren og krydser produktet i nævneren.

Mødet er det formodede orthocenter # (X, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad - bc}

Lad os finde mødet af højderne fra OQ og PQ næste. Ved symmetri kan vi bare bytte #en# med # C # og # B # med # D #. Vi ringer til resultatet # (X 'y'). #

# (x ', y') = {ca + db} / {cb - da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c)

Vi har disse to krydsninger er de samme, # (x ', y') = (x, y), # så vi har bevist, at højderne er samtidige. #quad sqrt #

Vi har retfærdiggjort navngivningen af det fælles skæringspunkt orthocenter, og vi har fundet sine koordinater.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #