Hvordan ville du bestemme ligningen for cirklen, der passerer gennem punkterne D (-5, -5), E (-5,15), F (15,15)?

Svar:

Erstatter hvert punkt til cirklens ligning, udvikler 3 ligninger, og subtraherer dem der har mindst 1 koordinat fælles (#x# eller # Y #).

Svar er:

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Forklaring:

Cirkelens ligning:

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

Hvor #α# #β# er koordinaterne for midten af cirklen.

Stedfortræder for hvert givet punkt:

Punkt D

#(-5-α)^2+(-5-β)^2=ρ^2#

#(-(5+α))^2+(-(5+β))^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(5+β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+5^2+2*5β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2# (Ligning 1)

Punkt E

#(-5-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2# (Ligning 2)

Punkt F

#(15-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#15^2-2*15α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2# (Ligning 3)

Substraq ligninger #(1)-(2)#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#40β-200=0#

#β=200/40#

#β=5#

Substraq ligninger #(2)-(3)#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2#

#40α-200=0#

#α=200/40#

#α=5#

Nu det #α# og #β# er kendt, erstatte dem i nogen af de punkter (vi vil bruge punkt #D (-5, -5) #):

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

#(-5-5)^2+(-5-5)^2=ρ^2#

#(-10)^2+(-10)^2=ρ^2#

#2(-10)^2=ρ^2#

#ρ^2=200#

Så bliver ligningen af cirklen:

#α=5#

#β=5#

#ρ^2=200#

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Svar:

Cirkelens ligning er # (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Forklaring:

Først skal vi finde ligningen af to linjer, hver vinkelret på segmenterne dannet af et par af de givne punkter og passerer gennem midtpunktet af dette par punkter.

Da punkt D og E (# X_D = x_E = -5 #) er i en linje parallelt med aksen Y (# X = 0 #) og punkt E og F (# Y_E = y_F = 15 #) er i en linje parallelt med aksen-X (# Y = 0 #) Det er praktisk at vælge disse par punkter.

Ligning af linje DE, hvor # X_D = x_E = -5 #

# x = -5 #

Ligning af linje 1 vinkelret på DE og passerer gennem midtpunktet #M_ (DE) #

#M_ (DE) ((x_D + x_E) / 2, (y_D + y_E) / 2) # => #M_DE (-5, 5) #

linje 1# -> y = 5 #

Ligning af Line EF, hvor # Y_E = y_F = 15 #

# Y = 15 #

Ligning af linje 2 vinkelret på EF og passerer gennem midtpunktet #M_ (EF) #

#M_ (EF) ((x_E + x_F) / 2, (y_E + y_F) / 2) # => #M_EF (5,15) #

linje 2# -> x = 5 #

Kombinere ligninger af linjer 1 og 2 (# Y = 5 # og # X = 5 #) finder vi cirklens center, punkt C

#C (5,5) #

Afstanden mellem punkt C til et hvilket som helst af de givne punkter er lig med cirkelens radius

# R = D_ (CD) = sqrt ((- 5-5) ^ 2 + (- 5-5) ^ 2) = sqrt (100 + 100) = sqrt (200) #

I formlen for cirklens ligning:

# (X-x_C) ^ 2 + (y-y_C) ^ 2 = R ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #