Hvad er de mulige rationelle rødder x ^ 5 -12x ^ 4 +2 x ^ 3 -3x ^ 2 + 8x-12 = 0?

Svar:

Denne quintic har ingen rationelle rødder.

Forklaring:

#f (x) = x ^ 5-12x ^ 4 + 2x ^ 3-3x ^ 2 + 8x-12 #

Ved den rationelle rotteorem, hvilke som helst nuller af #F (x) # er udtrykkelige i form # P / q # for heltal #p, q # med # P # en divisor af den konstante sigt #-12# og # Q # en divisor af koefficienten #1# af det førende udtryk.

Det betyder, at det eneste mulige rationel nuller er:

#+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-12#

Noter det #f (-x) = -x ^ 5-12x ^ 4-2x ^ 3-3x ^ 2-8x-12 # har alle negative koefficienter. Derfor #F (x) # har ingen negative nuller.

Så den eneste mulige rationel nuller er:

#1, 2, 3, 4, 6, 12#

Evaluering #F (x) # for hver af disse værdier finder vi ingen er et nul. Så #F (x) # har ingen rationel nuller.

Tilsammen med de fleste quintics og polynomier i højere grad er nullerne ikke udtrykkelige i form af # N #th rødder eller elementære funktioner, herunder trigonometriske funktioner.

Du kan bruge numeriske metoder som Durand-Kerner til at finde tilnærmelser:

# x_1 ~ ~ 11.8484 #

#x_ (2,3) ~~ -0,640414 + -0,877123i #

#x_ (4,5) ~~ 0,716229 + -0,587964i #