Svar:
Se venligst forklaringen nedenfor
Forklaring:
Funktionen er
#F (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
De partielle derivater er
# (Delf) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (Delf) / (dely) = 2y + x-3 #
Lade # (Delf) / (delx) = 0 # og # (Delf) / (dely) = 0 #
Derefter, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} #
#=>#, # {(X = -3), (y = 3):} #
# (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
Den hessiske matrix er
#Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
Det afgørende er
#D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
Derfor, Der er ingen sadelpunkter.
#D (1,1)> 0 # og # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #, der er et lokalt minimum på #(-3,3)#
Svar:
Lokalt minimum: #(-3,3)#
Forklaring:
Den gruppe af punkter, der omfatter både ekstreme og sadelpunkter findes, når begge dele # (Delf) / (delx) (x, y) # og # (Delf) / (dely) (x, y) # er lig med nul.
Antages #x# og # Y # er uafhængige variabler:
# (Delf) / (delx) (x, y) = 2x + y + 3 #
# (Delf) / (dely) (x, y) = x + 2y-3 #
Så vi har to samtidige ligninger, som heldigvis tilfældigvis er lineære:
# 2x + y + 3 = 0 #
# X + 2y-3 = 0 #
Fra den første:
# Y = -2x-3 #
Erstatter i den anden:
# x + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# x-4x-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# x = -3 #
Udskift tilbage til den første:
# 2 (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
# Y = 3 #
Så der er et punkt hvor de første derivater ensartet bliver nul, enten en ekstrem eller en sadel på # (X, y) = (- 3,3) #.
For at afgøre, hvilken skal vi beregne matrixen for anden derivat, den Hessian matrix (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((Del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
# (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
Dermed
# (((Del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) = ((2,1), (1,2)) #
Alle andenordensderivater er ensartede konstante uanset værdierne af #x# og # Y #, så vi behøver ikke specifikt at beregne værdierne for interessepunktet.
NB: Differentieringens rækkefølge har ingen betydning for funktioner med kontinuerlige sekundære derivater (Clairaults sætning, ansøgning her: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives), og derfor forventer vi at # (Del ^ 2f) / (delxdely) = (del ^ 2f) / (delydelx) #, som vi ser i vores specifikke resultat ovenfor.
I denne to-variable tilfælde kan vi udlede typen af punkt fra determinanten af den hessiske, # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) (del ^ 2f) / (dely ^ 2) - (del ^ 2f) / (delxdely) (del ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 = 3 #.
En form for testen til administration er givet her:
Vi ser at determinanten er #>0#, og det er også # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) #. Så konkluderer vi det #(-3,3)#, det eneste punkt på nul første derivat er et lokalt minimum af funktionen.
Som en skønhedskontrol for et etdimensionelt funktionsspørgsmål, plejer jeg at skrive grafen af det, men Socratic har ikke en overflade- eller konturplanlægning, der er egnet til todimensionale funktioner, så vidt jeg kan se. Så jeg vil oversplotte de to funktioner #F (-3, y) # og #F (x, 3) #, som ikke karakteriserer hele funktionsdomænet for os, men vil vise os minimumet mellem dem, hvilket fremstår som forventet hos # Y = 3 # og # x = -3 #, idet identisk funktionsværdi tages # F = -5 # i hvert tilfælde.
Som #F (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
#F (-3, y) = y ^ 2-6y +4 #
#F (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #
graf {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6,7}
