Spørgsmål # f8e6c

Svar:

Udtryk det som en geometrisk serie for at finde summen er #12500/3#.

Forklaring:

Lad os udtrykke dette som et beløb:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (1.12) ^ - k #

Siden #1.12=112/100=28/25#, det svarer til:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (28/25) ^ - k #

Brug af det faktum at # (A / b) ^ - c = (1 / (a / b)) ^ c = (b / a) ^ c #, vi har:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (25/28) ^ k #

Også, vi kan trække #500# ud af summation tegnet, sådan:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

Okay, hvad er det her nu? Godt, #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k # er hvad der er kendt som a geometriske serier. Geometriske serier involverer en eksponent, hvilket er præcis det, vi har her. Den fantastiske ting om geometriske serier som denne er, at de opsummerer # R / (1-r) #, hvor # R # er det fælles forhold; dvs. det tal, der er hævet til eksponenten. I dette tilfælde, # R # er #25/28#, fordi #25/28# er hvad der rejses til eksponenten. (Side note: # R # må være mellem #-1# og #1#, ellers ser serien ikke op til noget.)

Derfor er summen af denne serie:

#(25/28)/(1-25/28)#

#=(25/28)/(3/28)#

#=25/28*28/3=25/3#

Vi har netop opdaget det #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k = 25/3 #, så det eneste der er tilbage er at formere det med #500#:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

#=500*25/3#

#=12500/3~~4166.667#

Du kan finde ud af mere om geometriske serier her (jeg opfordrer dig til at se hele serien Khan Academy har på geometriske serier).