Svar:
Resten af delingen #f (x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 + 7x + 3 # ved # (X-k) # er #F (k) #, så løse #f (k) = 9 # ved hjælp af den rationelle rotteorem og factoring for at finde:
# k = 1/2, -2 # eller #-3#
Forklaring:
Hvis du forsøger at opdele #f (x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 + 7x + 3 # ved # x-k # du ender med en rest af #F (k) #…
Så hvis resten er #9#, vi forsøger grundlæggende at løse #f (k) = 9 #
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k + 3 = 9 #
Trække fra #9# fra begge sider for at få:
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k-6 = 0 #
Ved den rationelle rotteorem vil enhver rationel rødder i denne kubiske form være af form # P / q # i laveste vilkår, hvor #p, q i ZZ #, #q! = 0 #, # P # en divisor af den konstante sigt #-6# og # Q # en divisor af koefficienten #2# af det førende udtryk.
Det betyder, at de mulige rationelle rødder er:
#+-1/2#, #+-1#, #+-3/2#, #+-2#, #+-3#, #+-6#
Lad os prøve den første:
#f (1/2) = 1/4 + 9/4 + 7 / 2-6 = (1 + 9 + 14-24) / 4 = 0 #
så # k = 1/2 # er en rod og # (2k-1) # er en faktor.
Opdele ved # (2k-1) # at finde:
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k-6 = (2k-1) (k ^ 2 + 5k + 6) = (2k-1) (k + 2) (k + 3)
Så de mulige løsninger er:
# k = 1/2 #, # k = -2 # og # k = -3 #
