Hvad er enhedsvektoren, der er ortogonal til planet, der indeholder (-i + j + k) og (3i + 2j - 3k)?

Svar:

Der er her to enhedsvektorer afhængigt af din rækkefølge. De er # (- 5i + 0j -5k) # og # (5i + 0j 5k) #

Forklaring:

Når du tager tværproduktet af to vektorer, beregner du vektoren, der er ortogonal til de to første. Imidlertid er opløsningen af # VecAoxvecB # er normalt lige og modsat i størrelsesorden # VecBoxvecA #.

Som en hurtig genopfriskning, et tværprodukt af # VecAoxvecB # bygger en 3x3 matrix, der ligner:

# | i j k | #

# | A_x A_y A_z | #

# | B_x B_y B_z | #

og du får hvert udtryk ved at tage produktet af de diagonale termer, der går fra venstre mod højre, fra en given enhedsvektorbogstav (i, j eller k) og subtrahere produktet af diagonale termer, der går fra højre mod venstre, startende fra samme enhed vektor bogstav:

# (A_yxxB_z-A_zxxB_y) i + (A_zxxB_x-A_x xxBz) j + (A_x xxB_y-A_yxxB_x) k #

For de to løsninger lader vi indstille:

#vecA = - i + j + k #

# VecB = 3i + 2j-3k #

Lad os se på begge løsninger:

# VecAoxvecB #

Som nævnt ovenfor:

# vecAoxvecB = (A_yxxB_z-A_zxxB_y) i + (A_zxxB_x-A_x xxBz) j + (A_x xxB_y-A_yxxB_x) k #

# vecAoxvecB = (1xx (-3) -1xx2) i + (1xx3 - (- 1) xx (-3)) j + (- 1 xx2-1xx3) k #

#vecAoxvecB = (- 3-2) i + (3-3) j + (- 2-3) k #

#COLOR (rød) (vecAoxvecB = -5i + 0j-5k #

# VecBoxvecA #

Som en flip til den første formulering, tag diagonalerne igen, men matrixen er dannet forskelligt:

# | i j k | #

# | B_x B_y B_z | #

# | A_x A_y A_z | #

# vecBoxvecA = (A_zxxB_y-A_yxxB_z) i + (A_x xxB_z-A_z xxBx) j + (A_y xxB_x-A_x xxB_y) k #

Bemærk at subtraktionerne er vendt rundt. Dette er, hvad der forårsager 'lige og modsat' form.

# vecBoxvecA = (1xx2-1xx (-3)) i + ((- 1) xx (-3) -1 xx3) j + (1 xx3 - (- 1) xx2) k #

# VecBoxvecA = (2 - (- 3)) i + (3-3) j + (3 - (- 2)) k #

#COLOR (blå) (vecBoxvecA = 5i + 0j + 5k #

Hvad er enhedsvektoren, der er ortogonal til planet, der indeholder (i + j - k) og (i - j + k)?

Vi ved, at hvis vec C = vec A × vec B så vec C er vinkelret på både vec A og vec B Så, hvad vi har brug for er bare at finde tværproduktet af de givne to vektorer. Så (hati + hatj-hatk) × (hati-hat + hat) = - hatk-hatj-hatk + hati-hatj-i = -2 (hatk + hatj) Så er enhedsvektoren (-2 (hatk + hatj)) / (sqrt (2 ^ 2 + 2 ^ 2)) = - (hatk + hatj) / sqrt (2)

Hvad er enhedsvektoren, der er ortogonal til planet, der indeholder <0, 4, 4> og <1, 1, 1>?

Svaret er = <0,1 / sqrt2, -1 / sqrt2> Vektoren, der er vinkelret på 2 andre vektorer, er givet af tværproduktet. <0,4,4> x <1,1,1> = | (hati, hat, hat), (0,4,4), (1,1,1) | = hati (0) -hatj (-4) + hat (-4) = <0,4, -4> Verifikation ved at gøre prikken produkter <0,4,4>. <0,4, -4> = 0 + 16-16 = 0 <1,1,1>. <0,4, -4> = 0 + 4-4 = 0 Modulet på <0,4, -4> er = <0,4, - 4> = sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt32 = 4sqrt2 Enhedsvektoren opnås ved at dividere vektoren med modulet = 1 / (4sqrt2) <0,4, -4> = <0,1 / sqrt2, -1 / sqrt2>

Hvad er enhedsvektoren, der er ortogonal til planet, der indeholder (20j + 31k) og (32i-38j-12k)?

Enhedsvektoren er == 1 / 1507.8 <938.992, -640> Vektoren ortogonale til 2 vektorer i et plan beregnes med determinanten | (veci, vecj, veck), (d, e, f), (g, h, i) | hvor <d, e, f> og <g, h, i> er de 2 vektorer Her har vi veca = <0,20,31> og vecb = <32, -38, -12> Derfor | (veci, vecj, veck), (0,20,31), (32, -38, -12) | = Veci | (20,31), (-38, -12) | -vecj | (0,31), (32, -12) | + Veck | (0,20), (32, -38) | = veci (20 * -12 + 38 * 31) -vecj (0 * -12-31 * 32) + vik (0 * -38-32 * 20) = <938.992, -640> = vecc Verifikation ved at gøre 2 dot produkter <938.992, -640>. <0,20,31>