Vis at int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

Svar:

Se forklaring

Vi vil vise

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Dette er et helt "grimt" integral, så vores tilgang vil ikke være at løse dette integral, men sammenligne det med en "pænere" integral

Vi nu det for alle positive reelle tal #COLOR (rød) (sin (x) <= x) #

Således vil integandens værdi også være større for alle positive reelle tal, hvis vi erstatter # X = sin (x) #, så hvis vi kan vise

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Derefter skal vores første sætning også være sandt

Det nye integral er et simpelt substitutionsproblem

# Int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) = sqrt (x ^ 2 + 1) _ 0 ^ 1 = sqrt (2) -1 #

Det sidste skridt er at lægge mærke til det #sin (x) = x => x = 0 #

Derfor kan vi konkludere

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #