Spørgsmål # ba262

Svar:

Beviset er lidt langt, men håndterbart. Se nedenunder.

Forklaring:

Når man forsøger at bevise trig-identiteter, der involverer fraktioner, er det altid en god idé at tilføje fraktionerne først:

# Sint / (1-omkostninger) + (1 + omkostninger) / sint = (2 (1 + omkostninger)) / sint #

# -> sint / (1-omkostninger) sint / sint + (1 + omkostninger) / sint (1-omkostninger) / (1-omkostninger) = (2 (1 + omkostninger)) / sint #

# -> sin ^ 2t / ((1-omkostninger) (sint)) + ((1 + omkostninger) (1-omkostninger)) / ((1-omkostninger) (sint)) = (2 (1 + omkostninger)) / sint #

# -> (sin ^ 2t + (1 + omkostninger) (1-omkostninger)) / ((1-omkostninger) (sint)) = (2 (1 + omkostninger)) / sint #

Udtrykket # (1 + omkostninger) (1-omkostninger) # er faktisk en forskel på kvadrater i forklædning:

# (A + b) (a-b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Med # A = 1 # og # B = cost #. Det evaluerer til # (1) ^ 2- (omkostninger) ^ 2 = 1-cos ^ 2t #.

Vi kan gå endnu længere med # 1-cos ^ 2t #. Husk den grundlæggende pythagoranske identitet:

# Cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

subtraktion # cos ^ 2x # fra begge sider ser vi:

# Sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #

Siden #x# er bare en placeholder variabel, vi kan sige det # Synd ^ 2t = 1-cos ^ 2t #. Derfor er # (1 + omkostninger) (1-omkostninger) # bliver til # Synd ^ 2t #:

# (Sin ^ 2t + sin ^ 2t) / ((1-omkostninger) (sint)) = (2 (1 + omkostninger)) / sint #

# -> (2sin ^ 2t) / ((1-omkostninger) (sint)) = (2 (1 + omkostninger)) / sint #

Bemærk, at sines annullerer:

# (2cancel (sin ^ 2t) ^ sint) / ((1-omkostninger) annullere ((sint))) = (2 (1 + omkostninger)) / sint #

# -> (2sint) / (1-omkostninger) = (2 (1 + omkostninger)) / sint #

Vi er næsten færdige. Det sidste trin er at multiplicere venstre side af konjugatet af # 1-cost # (som er # 1 + omkostninger #), for at udnytte forskellen på kvadrater ejendom:

# (2sint) / (1-omkostninger) (1 + omkostninger) / (1 + omkostninger) = (2 (1 + omkostninger)) / sint #

# -> (2sint (1 + omkostninger)) / ((1-omkostninger) (1 + omkostninger)) = (2 (1 + omkostninger)) / sint #

Igen kan vi se det # (1-omkostninger) (1 + omkostninger) # er en forskel på kvadrater med # A = 1 # og # B = cost #. Det evaluerer til # (1) ^ 2- (omkostninger) ^ 2 #, eller # 1-cos ^ 2t #. Vi viste det allerede # Synd ^ 2t = 1-cos ^ 2t #, så nævneren bliver erstattet:

# (2sint (1 + omkostninger)) / (sin ^ 2t) = (2 (1 + omkostninger)) / sint #

Sines annullere:

# (2cancel (sint) (1 + omkostninger)) / (annullere (sin ^ 2t) ^ sint) = (2 (1 + omkostninger)) / sint #

Og voila, bevis fuldført:

# (2 (1 + omkostninger)) / sint = (2 (1 + omkostninger)) / sint #

Svar:

Lad mig prøve

Forklaring:

# LHS = sint / (1-omkostninger) + (1 + omkostninger) / sint #

Inspektion af RHS vi tager fælles# (1 + omkostninger) / sint #

Så

# LHS = (1 + omkostninger) / sint (sint / (1 + omkostninger) * sint / (1-omkostninger) +1) #

# = (1 + omkostninger) / sint (sin ^ 2t / (1-cos ^ 2t) +1) #

# = (1 + omkostninger) / sint (sin ^ 2t / sin ^ 2t + 1) #

# = (1 + omkostninger) / sint (1 + 1) #

# = (2 (1 + omkostninger)) / sint = RHS #

Bevist