Hvordan beregner summen af dette? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n

Svar:

Se nedenunder.

Forklaring:

Overvejer #abs x <1 #

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ o (-x) ^ n #

men # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # og

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # derefter

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

Svar:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # hvornår # | X | <1 #

Forklaring:

Vi begynder med at skrive nogle af koefficienterne:

(n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

Det første vi vil se på er koefficienterne (graden af #x# kan let justeres ved at gange og dividere serien med #x#, så de er ikke så vigtige). Vi ser at de alle er to gange, så vi kan få en faktor på to:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10 x ^ 5 …) #

Koefficienterne inden for denne parentes kan genkendes som binomialserien med en effekt på # Alpha = -3 #:

# (1 + x) ^ a = 1 + alphax + (alpha (a-1)) / (2!) X ^ 2 + (alpha (a-1) (a-2)) / (3!) X ^ 3 … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

Vi bemærker, at eksponenterne af alle vilkårene i parentes er større med to sammenlignet med den serie, vi lige har afledt, så vi skal formere # X ^ 2 # for at få den rigtige serie:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

Det betyder, at vores serie er (når den konvergerer) lig med:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

Bare for at bekræfte, at vi ikke gjorde en fejl, kan vi hurtigt bruge Binomial Series til at beregne en serie til # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3x + ((- 3) (-! 4)) / (2) x ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3!) x ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4!) / (2 * 2!) X ^ 2- (5!) / (2 * 3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2x ^ 2- (5 * 4) / 2x ^ 3 …) = #

Vi kan beskrive dette mønster som sådan:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = sum_ (n = 0) ^ o (-1) ^ nn n-1) x ^ n #

Siden første sigt er bare #0#, kan vi skrive:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

hvilket er den serie vi startede med og verificere vores resultat.

Nu skal vi bare finde ud af konvergensintervallet for at se, hvornår serien faktisk har en værdi. Vi kan gøre dette ved at se konvergensbetingelserne for binomialserien og finde ud af, at serien konvergerer når # | X | <1 #