Synd ^ 4x -cos ^ 4x = cos3x Kan du løse dette?

Svar:

# x = pi / 5 #

#x = (3pi) / 5 #

# x = pi #

Forklaring:

Vi har:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = cos (3x) #

# 1 (sin ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #

# -cos (2x) = cos (3x) #

# 0 = cos (3x) + cos (2x) #

# 0 = cos (2x) cos (x) - synd (2x) sinx + cos (2x) #

# 0 = (2cos ^ 2x -1) cosx-2sinxcosxsinx + 2cos ^ 2x-1 #

# 0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2sin ^ 2xcosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x-cosx-2 (1-cos ^ 2x) cosx + 2cos ^ 2x-1 #

# 0 = 2cos ^ 3x-cosx-2 (cosx-cos ^ 3x) + 2cos ^ 2x-1 #

# 0 = 2cos ^ 3x-cosx-2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x-1 #

# 0 = 4cos ^ 3x + 2cos ^ 2x - 3cosx -1 #

Lade #u = cosx #.

# 0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2 - 3u - 1 #

Vi ser det #u = -1 # er en faktor. Ved hjælp af syntetisk division får vi

# 0 = (x + 1) (4x ^ 2 - 2x - 1) #

Ligningen # 4x ^ 2 - 2x - 1 = 0 # kan løses ved anvendelse af den kvadratiske formel.

#x = (2 + - sqrt (2 ^ 2 - 4 * 4 * -1)) / (2 * 4) #

#x = (2 + - sqrt (20)) / 8 #

#x = (1 + - sqrt (5)) / 4 #

#x ~~ 0.809 eller -0.309 #

Siden #cosx = u #, vi får #x = pi / 5, (3pi) / 5 # og # Pi #.

Hvor # N # er et helt tal.

Grafen af # y_1 = sin ^ 4x-cos ^ 4x # og # y_2 = cos (3x) # bekræfter, at løsningerne er skæringspunkterne.

Forhåbentlig hjælper dette!

Svar:

#x = (2k + 1) pi #

#x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Forklaring:

# sin ^ 4x - cos ^ 4 = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# 1 (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #, eller

#cos 3x = - cos 2x = cos (2x + pi) #

Enhedscirkel og egenskab af cos giver ->

# 3x = + - (2x + pi) + 2kpi #

en. # 3x = 2x + pi + 2kpi #

#x = (2k + 1) pi #

Hvis k = 0 -> #x = pi #

b. # 3x = - 2x - pi + 2kpi #

# 5x = (2k - 1) pi #, #x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Hvis k = 1 -> #x = pi / 5 #.

Hvis k = 0 -> #x = - pi / 5 #, eller #x = (9pi) / 5 # (Co-terminal)

Hvis k = 2 -> #x = (3pi) / 5 #

I det lukkede interval 0, 2pi er svarene:

# 0, (pi) / 5, (3pi) / 5, pi, (9pi) / 5 #

Tjek efter regnemaskine.

#x = pi / 5 = 36 ^ @ # --> # sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = - 0,428 # -> cos 3x = - 309.

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = 0.119 - 0.428 = - 309 #. Bevist

#x = (9pi) / 5 # --># sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = 0,428 # -->

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = - 0,309 #

#cos 3x = cos 972 = - 0,309 #. Bevist

Svar:

# rarrx = (2n + 1) pi / 5, (2n + 1) pi # # NrarrZ #

Forklaring:

# Rarrsin ^ 4x-cos ^ 4x = cos3x #

#rarr (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = cos3x #

# Rarr-cos2x = cos3x #

# Rarrcos3x + cos2x = 0 #

# rarr2cos ((3x + 2x) / 2)) * cos ((3x-2x) / 2)) = 0 #

#rarrcos ((5x) / 2) * cos (x / 2) = 0 #

enten #cos ((5x) / 2) = 0 #

#rarr (5x) / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# Rarrx = (2n + 1) pi / 5 # # NrarrZ #

#rarrcos (x / 2) = 0 #

# Rarrx / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# Rarrx = (2n + 1) pi # # Nrarr #

Svar:

Den generelle løsning kræver ikke den tredobbelte vinkelformel og er

# x = 180 ^ circ + 360 ^ circ k # eller # x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

for heltal # K #.

Forklaring:

Jeg kan ikke lide at læse andres svar, før jeg selv løser et spørgsmål. Men et udvalgt svar for denne ene dukkede op. Under mit hurtige blik kan jeg ikke se, at det så ret kompliceret til, hvad der ser ud til mig som et relativt let spørgsmål. Jeg giver det et skud.

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #

#cos (180 ^ circ - 2x) = cos 3x #

Jeg har været på sokratisk i et par uger, og det kommer frem som mit tema: Den generelle løsning på #cos x = cos a # er #x = pm a + 360 ^ circ k quad # for heltal # K. #

# 180 ^ cirk - 2x = pm 3x + 360 ^ circ k #

# -2x pm 3x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Vi tager skiltene separat. Plus først:

# x = -180 ^ cirk + 360 ^ circ k = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Minus næste.

# -5x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

Hvis du læser disse nøje, tror du måske, jeg laver en fejl med den måde, jeg manipulerer på # K #. Men siden # K # spænder over alle heltalene, substitutioner som # k til -k # og # k til k + 1 # er tilladt, og jeg glider dem ind for at holde skiltene #+# når de kan være

Kontrollere:

Lad os vælge et par for at tjekke. Jeg er nørd nok til at vide #cos 36 ^ circ # er halvdelen af Golden Ratio, men jeg kommer ikke til at arbejde disse ud præcist, bare pop dem ind i Wolfram Alpha for at sikre.

# x = 36 ^ circ + 72 ^ cirkel = 108 ^ cirkel #

# sin ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos (3 * 108) = 0 quad sqrt #

# x = 180 - 2 (360) = -540 #

#sin ^ 4 (-540) - cos ^ 4 (-540) - cos (3 * -540) = 0 quad sqrt #