Hvad er ekstreme og sadpunkterne for f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y?

Svar:

Der er en ekstrem på #(3,3,27)#

Vi har:

# f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y #

Og så udledes vi de partielle derivater:

# (delvist f) / (delvis x) = y - 27 / x ^ 2 # og # (del f) / (delvis y) = x - 27 / y ^ 2 #

På en ekstrem eller sadelpunkt har vi:

# (delvist f) / (delvis x) = 0 # og # (delvis f) / (delvis y) = 0 # samtidigt:

dvs. en samtidig opløsning af:

# y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 #

# x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 #

Subtrahering af disse ligninger giver:

# x ^ 2y-xy ^ 2 = 0 #

#:. xy (x-y) = 0 #

#:. x = 0; y = 0; x = y #

Vi kan eliminere # x = 0; y = 0 # også # X = y # er den eneste gyldige løsning, som fører til:

# x ^ 3 = 27 => x = y = 3 #

Og med # X = y = 3 #, vi har:

# f (3,3) = 9 + 9 + 9 = 27 #

Derfor er der kun et kritisk punkt, der forekommer ved (3,3,27), hvilket kan ses på dette plot (som omfatter tangentplanet)