Svar:
Forklaring:
Den nest vigtigste identitet til at løse enhver form for problem med uendelig produkt er at omdanne det til et problem med uendelige summer:
VÆGT:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Men før vi kan gøre dette, skal vi først behandle # frac {1} {n ^ 2} i ligningen og btw lad os kalde det uendelige produkt L:
Nu kan vi konvertere dette til et uendeligt beløb:
anvende logaritme egenskaber:
Og ved hjælp af grænseegenskaber:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Lad os kalde det uendelige beløb S:
Og husk det
Lad os nu løse dit spørgsmål ved at konvertere det fra en RIEMANN SUM til a DEFINITIV INTEGRAL:
Husk definitionen af en Riemann sum er:
VÆGT:
Lade
Lad nu
Således er b = 1 dvs.
Derfor,
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Løs for
brug integration af dele:
Lade
Brug derefter kæderegel og derivatet af naturlig logaritme til at få
og brug magt regel at få:
Brug strømregel til det første integral og det andet integral er den standard trigonometriske funktion
Dermed,
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Løs nu for det konkrete integral:
vi ved, at anti-derivatet er
Bemærk at arctan (1) er 45 ° eller
Dermed
eller
Derfor er løsningen
Antag at du arbejder i et laboratorium, og du har brug for en 15% syreopløsning for at gennemføre en bestemt test, men din leverandør sender kun 10% opløsning og 30% opløsning. Du har brug for 10 liter af 15% syreopløsningen?
Lad os arbejde dette ud ved at sige mængden af 10% opløsningen er x. Så vil 30% opløsningen være 10-x Den ønskede 15% -opløsning indeholder 0,15 * 10 = 1,5 af syre. 10% opløsningen vil give 0,10 * x Og 30% opløsningen vil give 0,30 * (10-x) Så: 0,10x + 0,30 (10-x) = 1,5-> 0,10x + 3-0,30x = 1,5-> 3 -0.20x = 1.5-> 1.5 = 0.20x-> x = 7.5 Du skal bruge 7,5 l af 10% opløsningen og 2,5 liter af 30%. Bemærk: Du kan gøre det på en anden måde. Mellem 10% og 30% er en forskel på 20. Du skal gå op fra 10% til 15%. Dette er en forskel p
Julie ønsker at lave 800 g af en 15% alkoholopløsning ved at blande en 20% opløsning og en 40% opløsning. Hvor mange gram af hver art har hun brug for?
Julie vil ikke kunne lave en 15% løsning med kun 20% og 40 løsninger til at lave blandingen. Enhver løsning, Julie gør ved at bruge disse to komponenter, vil have et alkoholindhold på mellem 20% og 40%.
Virginia og Campbell havde 100 kg af en 20% glycolopløsning. Hvor meget af en 40% glycolopløsning skal tilsættes for at få en opløsning, der er 35% glycol?
33 1/3 kgm Antag at vi skal tilføje farve (rød) (x) kgm farve (rød) (40%) glycol til farven (blå) (100) kgm farve (blå) (20%) glycolopløsning resulterende masse vil være farve (grøn) (100 + x)) kgm (ved en koncentration af farve (grøn) (25%)) farve (blå) (20% xx 100) + farve (rød) (40% xx x ) = farve (grøn) (25% xx (100 + x)) Farve (hvid) ("XX") Farve (blå) (20) + Farve (rød) (2 / 5x) = Farve (grøn) 1 / 4x) Farvefarve (hvid) ("XX") (farve (rød) (2/5) -farve (grøn) (1/4)) x = Farve (grøn) (25) -farve (blå) ) rA