Hvad er derivatet af y = (sinx) ^ x?

Svar:

# dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Forklaring:

Brug logaritmisk differentiering.

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # (Brug egenskaber af # Ln #)

Differentieres implicit: (Brug produktreglen og kædeløbet)

# 1 / y dy / dx = 1ln (sinx) + x 1 / sinx cosx #

Så har vi:

# 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx #

Løs for # Dy / dx # ved at gange med #y = (sinx) ^ x #, # dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Svar:

# D / dx (sinx) ^ x = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Forklaring:

Den nemmeste måde at se dette på bruger:

# (Sinx) ^ x = e ^ (ln ((sinx) ^ x)) = e ^ (xln (sinx)) #

At tage derivatet af dette giver:

# D / dx (sinx) ^ x = (d / dxxln (sinx)) e ^ (xln (sinx)) #

# = (Ln (sinx) + xd / dx (ln (sinx))) (sinx) ^ x #

# = (Ln (sinx) + x (d / dxsinx) / sinx) (sinx) ^ x #

# = (Ln (sinx) + xcosx / sinx) (sinx) ^ x #

# = (Ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Nu skal vi bemærke, at hvis # (Sinx) ^ x = 0 #, #ln ((sinx) ^ x) # er udefineret.

Men når vi analyserer funktionsfunktionen omkring funktionen omkring #x#'s som dette indebærer, finder vi, at funktionen opfører sig godt nok til at dette virker, fordi, hvis:

# (Sinx) ^ x # nærmer sig 0

derefter:

#ln ((sinx) ^ x) # vil nærme sig # -Oo #

så:

# E ^ (ln ((sinx) ^ x)) # vil også nærme sig 0

Desuden bemærker vi, at hvis #sinx <0 #, #ln ((sinx) ^ x) # vil være et komplekst tal; Men al den algebra og calculus, som vi har brugt, arbejder også i det komplekse plan, så det er ikke et problem.

Svar:

Mere generelt…

Forklaring:

x (x) + g (x) (f (x)) f (x) ^ g (x) #