Svar:
Tip 1: Antag at han ligning # x ^ 2 + x-u = 0 # med # U # et helt tal har heltalsløsning # N #. Vis det # U # er lige.
Forklaring:
Hvis # N # er en løsning, der er et helt tal # M # sådan at
# x ^ 2 + x-u = (x-n) (x + m) #
Hvor #nm = u # og # m-n = 1 #
Men den anden ligning indebærer det #m = n + 1 #
Nu begge # M # og # N # er heltal, så en af # N #, # N + 1 # er lige og #nm = u # er lige.
Forslag
Hvis # U # er et ulige heltal, så ligningen # x ^ 2 + x - u = 0 # har ingen løsning, der er et helt tal.
Bevis
Antag at der findes et heltal # M # af ligningen:
# x ^ 2 + x - u = 0 #
hvor # U # er et ulige heltal. Vi skal undersøge de to mulige tilfælde:
# M # er mærkeligt eller
# M # er lige.
Lad os først overveje sagen hvor # M # er mærkeligt, så findes der et helt tal # K # sådan at:
# m = 2k + 1 #
Nu siden # M # er en rod af vores ligning, det må være det:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #
#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #
Og vi har en modsigelse, som # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # er selv, men # U # er mærkeligt.
Lad os nu se på, hvor # M # er lige, så findes der et helt tal # K # sådan at:
# m = 2k #
Tilsvarende, siden # M # er en rod af vores ligning, det må være det:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 2k #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + k) #
Og igen har vi en modsigelse, som # 2 (2k ^ 2 + k) # er selv, men # U # er mærkeligt.
Så vi har bevist, at der ikke er en heltal løsning af ligningen # x ^ 2 + x - u = 0 # hvor # U # er et ulige heltal.
Derfor er forslaget bevist. QED
Svar:
Se nedenunder.
Forklaring:
Hvis # X ^ 2 + x-u = 0 # derefter
#x (x + 1) = u # så hvis #x# er et helt tal, #x (x + 1) # er selv, at være en modsigelse, fordi # U # ved hypotese er mærkeligt.
