Det er kendt, at ligningen bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 har en reel rod. Bevis at ligningen x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 ikke har nogen reelle rødder.?

Svar:

Se nedenunder.

Forklaring:

Rødderne til # Bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # er

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2)) / (2b) #

Rødderne vil være sammenfaldende og virkelige hvis

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

eller

# A = b # eller #a = 5b #

Nu løses

# X ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # vi har

#x = 1/2 (-a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

Tilstanden for komplekse rødder er

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

nu gør #a = b # eller #a = 5b # vi har

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

Afsluttende, hvis # Bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # har sammenfaldende reelle rødder da # X ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # vil have komplekse rødder.

Vi får at ligningen:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

har en rigtig rod, derfor er diskriminanten af denne ligning nul:

# Delta = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. a = b #, eller # a = 5b #

Vi søger at vise ligningen:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

har ingen reelle rødder. Dette ville kræve en negativ diskriminant. Diskriminanten for denne ligning er:

# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# = a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

Og lad os nu overveje de to mulige sager, der opfylder den første ligning:

Sag 1: # A = b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

Sag 2: # A = 5b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

Derfor er betingelserne i den første ligning sådan, at den anden ligning altid har en negativ diskriminant og derfor har komplekse rødder (dvs. ingen reelle rødder), QED