Hjælp mig med det her, hvordan gør du det?

Svar:

# k = 3 #

Forklaring:

Brug af eksponenterne som # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # og # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, vi har

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1 ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3k) * 3 ^ k #

Dermed #13!# kan deles af # 24 ^ k # hvis og kun hvis #13!# kan deles af # 2 ^ (3k) # og er delelig med # 3 ^ k #.

Vi kan fortælle den største magt af #2# ved hvilken #13!# er delelig med, hvis vi ser på dens faktorer, som er delelige af #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Da ingen af de ulige faktorer bidrager med nogen faktorer af #2#, vi har

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

hvor # M # er et helt tal ikke deleligt med #2#. Som sådan ved vi det #13!# kan deles af # 2 ^ (3k) # hvis og kun hvis #2^10# kan deles af # 2 ^ (3k) #, betyder # 3k <= 10 #. Som # K # er et helt tal betyder dette # k <= 3 #.

Dernæst kan vi se på hvilke faktorer af #13!# kan deles af #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Som ingen andre faktorer af #13!# bidrage med nogen faktorer af #3#, Det betyder

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

hvor # N # er et helt tal ikke deleligt med #3#. Som sådan ved vi det #3^5# kan deles af # 3 ^ k #, betyder # k <= 5 #.

Det største nonnegative heltal opfylder begrænsningerne #K <= 3 # og #K <= 5 # er #3#, giver os vores svar på # K = 3 #.

En regnemaskine bekræfter det #(13!)/24^3 = 450450#, mens #(13!)/24^4=18768.75#