Hvordan vurderer du integralet af int (dt) / (t-4) ^ 2 fra 1 til 5?

Svar:

Erstatning # x = t-4 #

Svaret er, hvis du virkelig bliver bedt om at bare finde integralet:

#-4/3#

Hvis du søger området, er det ikke så enkelt selv.

Forklaring:

# Int_1 ^ 5DT / (t-4) ^ 2 #

Sæt:

# T-4 = x #

Derfor er differencen:

# (D (t-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# Dt = dx #

Og grænserne:

# X_1 = t_1-4 = 1-4 = -3 #

# X_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

Nu erstatte disse tre værdier fundet:

# Int_1 ^ 5DT / (t-4) ^ 2 #

# int _ (- 3) ^ 1DX / x ^ 2 #

# int _ (- 3) ^ 1x ^ -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) x ^ (- 2 + 1) _ (- 3) ^ 1 #

# - x ^ -1 _ (- 3) ^ 1 #

# - 1 / x _ (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

BEMÆRK: LÆS IKKE DETTE, HVIS DU IKKE HAR BEGRUNDET HVORDAN FINDES OMRÅDET. Selvom dette rent faktisk skal repræsentere området mellem de to grænser, og da det altid er positivt, burde det have været positivt. Denne funktion er dog ikke kontinuerlig på # X = 4 # så dette integral repræsenterer ikke området, hvis det er det du ønskede. Det er lidt mere kompliceret.

Svar:

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

Forklaring:

# tl ^^ (d t) / (t-2) ^ 2 "" t-2 = u ";" d t = d u #

# int_1 ^ 5 (d u) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^ (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

(t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

(t-2) ^ 2 = -1 / ((5-2)) + 1 / (1-2)) #

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

Svar:

Afhængigt af hvor meget integration du har lært er det "bedste" svar enten: "Integralet er ikke defineret" (endnu) eller "integralen afviger"

Forklaring:

Når vi forsøger at evaluere # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, skal vi kontrollere, at integand er defineret på det interval, som vi integrerer.

# 1 / (x-4) ^ 2 # er ikke defineret på #4#, sådan er det ikke defineret på hele intervallet #1,5#.

Tidligt i undersøgelsen af calculus, definerer vi integralet ved at begynde med

"Lade # F # defineres på interval # A, b #… '

Så tidligt i vores undersøgelse er det bedste svar det

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# er ikke defineret (endnu?)

Senere udvider vi definitionen til hvad der hedder "ukorrekte integraler"

Disse omfatter integraler med ubundne intervaller (# (- oo, b #, # A, oo) # og # (- oo, oo) #) og også intervaller, hvor integandet har punkter, hvor det ikke er defineret.

At (forsøge) at evaluere # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, vi evaluerer de to forkerte integraler # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(Bemærk at integrand endnu ikke er defineret på disse lukket intervaller.)

Metoden er at erstatte det punkt, hvor integand er udefineret af en variabel, så tag en grænse, da denne variabel nærmer sig nummeret.

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

Lad os finde integralet først:

# int_1 ^ b1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b-4)) - (- 1 / (-3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

Leder du efter grænsen som # Brarr4 ^ - #, vi ser at grænsen ikke findes. (Som # Brarr4 ^ - #, værdien af # -1 / (b-4) # øges uden bundet.)

Derfor er integreret over #1,4# eksisterer ikke så integreret over #1,5# eksisterer ikke.

Vi siger, at integralet afviger.

Bemærk

Nogle ville sige: vi har nu en definition af integralet, forekommer der bare ikke noget tal, der opfylder definitionen.