Hvordan forenkler jeg (sin ^ 4x-2sin ^ 2x + 1) cosx?

Svar:

# cos ^ 5x #

Forklaring:

Denne type problem er virkelig ikke så slemt, når du genkender, at det indebærer en lille algebra!

For det første vil jeg omskrive det givne udtryk for at gøre følgende trin lettere at forstå. Vi ved det # Synd ^ 2x # er bare en enklere måde at skrive # (sin x) ^ 2 #. Tilsvarende # sin ^ 4x = (sin x) ^ 4 #.

Vi kan nu omskrive det originale udtryk.

# (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x #

# = (sin x) ^ 4-2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

Nu er her den del der involverer algebra. Lade #sin x = a #. Vi kan skrive # (sin x) ^ 4-2 (sin x) ^ 2 + 1 # som

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 #

Ser det godt ud? Vi skal bare faktor dette! Dette er en perfekt kvadratisk trinomial. Siden # a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #, kan vi sige

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 = (a ^ 2 - 1) ^ 2 #

Skift nu tilbage til den oprindelige situation. Re-erstatning #sin x # til #en#.

# (sin x) ^ 4-2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

# = (sin x) ^ 2-1 2 cos x #

# = (farve (blå) (sin ^ 2x - 1)) ^ 2 cos x #

Vi kan nu bruge en trigonometrisk identitet til at forenkle betingelserne i blå. Omarrangere identiteten # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #, vi får #color (blå) (sin ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x) #.

# = (farve (blå) (- cos ^ 2x)) ^ 2 cos x #

Når vi har firkantet dette, multipliceres de negative tegn for at blive positive.

# = (cos ^ 4x) cos x #

# = Cos ^ 5x #

Dermed, # (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x = cos ^ 5x #.