Hvad er kvadratroden af 82?

Svar:

# 10> sqrt82> 9 #, # sqrt82 ~~ 9.0554 #

Forklaring:

#x_ "n + 1" = 1/2 (x_ "n" + S / x_ "n") -> sqrtS # til #n -> oo #

S er det antal, som du omkalkerer sin sqaure root. I dette tilfælde # S = 82 #

Heres hvad dette betyder og hvordan det bruges:

Først, tag et gæt, hvad kunne kvadratroten på 82 være?

Kvadratroten af 81 er 9, så det skal være ligeligt højere end 9 rigtigt?

Vores gæt vil være #x_ "0" #, lad os sige 9,2, #x_ "0" = 9.2 #

Indsættelse af 9.2 som "x" i formlen giver os #x_ "0 + 1" = x_ "1" #

Dette bliver det næste tal, vi lægger i ligningen. Dette er fordi vi startede med et gæt på 9,2 = #x_ "0" #, dette gav os et nummer #x_ "1" #, indsætter dette nummer vil give os #x_ "2" #, som vil give os #x_ "3" # og så videre, giver os altid det næste nummer, når vi indsætter det forrige. Den højre side af ligningen angivet med "#->#"betyder at når" n "bliver større og større, kommer tallet også tættere på og tættere på kvadratroden af S, i dette tilfælde 82.

Lad os sige, at vi gjorde den samme beregning 100 gange! Så ville vi have #x_ "100" #. Dette tal vil være meget tæt på kvadratroden af S.

Nok at tale, lad os lave nogle faktiske beregninger!

Vi starter med vores gæt #x_ "0" = 9,2 #

#x_ "1" = 1/2 (9,2 + 82 / 9,2) ~ ~ 9,05652 #

Nu gør det samme med det nye nummer: #x_ "2" = 1/2 (9.05652 + 82 / 9.05652) ~~ 9.05549 #

Lad os gøre det en sidste gang: #x_ "3" = 1/2 (9.05549 + 82 / 9.05546) ~~ 9.0554 #

Det betyder # Sqrt82 ~~ 9,0554 #

Og der har du det!

Undskyld hvis alle mine taler var irriterende. Jeg forsøgte at forklare det dybtgående og på en simpel måde, hvilket altid er godt, hvis du ikke er meget bekendt med et bestemt felt i matematik. Jeg kan ikke se hvorfor nogle mennesker skal være så posh, når de forklarer matematik:)

Svar:

#sqrt (82) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …)))) ~ ~ 9.0553851381374 #

Forklaring:

Den primære faktorisering af #82# er:

#82 = 2*41#

Da der ikke er nogen firkantede faktorer, #sqrt (82) # kan ikke forenkles. Det er et irrationelt tal lidt større end #9#.

Bemærk dog det #82=81+1 = 9^2+1#.

Da dette er af formularen # N ^ 2 + 1 #, kvadratroden har en meget regelmæssig form som en fortsat fraktion:

#sqrt (82) = 9; bar (18) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …)))))

Mere generelt:

#sqrt (n ^ 2 +1) = n; bar (2n) = n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + …)))) #

Mere generelt stadig:

#sqrt (n ^ 2 + m) = n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + …)))) #

Under alle omstændigheder kan vi bruge den fortsatte fraktion for at få rationelle tilnærmelser til #sqrt (82) # ved afkortning.

For eksempel:

#sqrt (82) ~~ 9; 18 = 9 + 1/18 = 163/18 = 9,0bar (5) #

#sqrt (82) ~~ 9; 18,18 = 9 + 1 / (18 + 1/18) = 2943/325 = 9,05bar (538461) #

#sqrt (82) ~~ 9; 18,18,18 = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1/18)) = 53137/5868 ~~ 9.05538513974 #

En regnemaskine fortæller mig at:

#sqrt (82) ~~ 9.0553851381374 #

Så du kan se, at vores tilnærmelser er nøjagtige til omtrent lige så mange signifikante cifre som det samlede antal cifre i kvoten.