Kan nogen hjælpe mig med at forstå denne ligning? (skriver en polær ligning af en konisk)

Svar:

#r = 12 / {4 cos theta + 5} #

Forklaring:

En konisk med excentricitet # E = 4/5 # er en ellipse.

For hvert punkt på kurven er afstanden til brændpunktet over afstanden til directrixen # E = 4 / 5. #

Fokus på polen? Hvilken stang? Lad os antage, at spørgsmålet fokuserer på oprindelsen.

Lad os generalisere ekscentriciteten til # E # og direktøren til # X = k #.

Afstanden af et punkt # (X, y) # på ellipsen til fokus er

# sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

Afstanden til direktionen # X = k # er # | X-k | #.

# e = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} / | x-k | #

# e ^ 2 = {x ^ 2 + y ^ 2} / (x-k) ^ 2 #

Det er vores ellipse, der er ingen særlig grund til at arbejde det i standardform.

Lad os gøre det polært, # R ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 # og # x = r cos theta #

# e ^ 2 = r ^ 2 / (r cos theta-k) ^ 2 #

# e ^ 2 (r cos theta - k) ^ 2 = r ^ 2 #

# (e r cos theta - e k) ^ 2 - r ^ 2 = 0 #

# (r e cos theta + r - ek) (r e cos theta - r - ek) = 0 #

#r = {ek} / {e cos theta + 1} eller r = {ek} / {e cos theta - 1} #

Vi taber den anden formular, fordi vi aldrig havde negativ # R #.

Så polarformen til en ellipse med excentricitet # E # og directrix # X = k # er

#r = {ek} / {e cos theta + 1} #

Det synes at være den form, du startede fra.

Plugging i # e = 4/5, k = 3 #

#r = {12/5} / {4/5 cos theta + 1} #

Forenkling giver, #r = 12 / {4 cos theta + 5} #

Det er ingen af ovenstående.