Hvad er krydsprodukter?

Svar:

Se forklaring …

Forklaring:

Når du støder på vektorer i #3# dimensioner så møder du to måder at multiplicere to vektorer sammen:

Krydsprodukt

skrevet #vec (u) xx vec (v) #, dette tager to vektorer og producerer en vektor vinkelret på dem begge eller nulvektoren hvis #vec (u) # og #vec (v) # er parallelle.

Hvis #vec (u) = <u_1, u_2, u_3> # og #vec (v) = <v_1, v_2, v_3> # derefter:

#vec (u) xx vec (v) = <u_2v_3-u_3v_2, farve (hvid) (.) u_3v_1-u_1v_3, farve (hvid) (.) u_1v_2-u_2v_1> #

Dette er nogle gange beskrevet i form af en determinant af a # 3 xx 3 # matrix og de tre enhedsvektorer #hat (i) #, #hat (j) #, #hat (k) #:

#vec (u) xx vec (v) = abs ((hat (i), hat (j), hat (k)), (u_1, u_2, u_3), (v_1, v_2, v_3)) #

Hvad med division?

Hverken prikprodukt eller tværprodukt tillader opdeling af vektorer. For at finde ud af, hvordan man deler vektorer, kan man se på kvaternionerne. Kvaternionerne udgør en #4# dimensionelle vektorrum over de reelle tal og har aritmetik med ikke-kommutativ multiplikation, som kan udtrykkes som en kombination af prikkeprodukt og krydsprodukt. Faktisk er det den forkerte vej, da kvaternionens aritmetik foregår den moderne præsentation af vektorer, prikker og krydsprodukter.

Anyway, vi kan sige, at en kvaternion kan skrives som en kombination af en skalær del og vektor del, med aritmetik defineret af:

# (r_1, vec (v_1)) + (r_2, vec (v_2)) = (r_1 + r_2, vec (v_1) + vec (v_2)) #

# (r_1, vec (v_1)) * (r_2, vec (v_2)) = (r_1 r_2 - vec (v_1) * vec (v_2), r_1 vec (v_2) + r_2 vec (v_1) + vec (v_1) xx vec (v_2)) #

For en meget interessant relateret snak, se dette …

Livet før vektorer