På hvilke intervaller er den følgende ligning konkav op, konkav ned, og hvor dens bøjningspunkt er (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

Svar:

• hvis # 0 <x <e ^ (- 15/56) # derefter # F # er konkav ned;
• hvis #x> e ^ (- 15/56) # derefter # F # er konkav op;
• # X = e ^ (- 15/56) # er en (faldende) bøjningspunkt

Forklaring:

At analysere konkavitet og bøjningspunkter i en dobbelt differentierbar funktion # F #, kan vi studere positiviteten af det andet derivat. Faktisk, hvis # X_0 # er et punkt i domænet af # F #, derefter:

• hvis #F '' (x_0)> 0 #, derefter # F # er konkav op i et kvarter af # X_0 #;
• hvis #F '' (x_0) <0 #, derefter # F # er konkav ned i et kvarter af # X_0 #;
• hvis #F '' (x_0) = 0 # og tegn på #F '' # på et tilstrækkeligt lille højre kvarter af # X_0 # er modsat tegnet af #F '' # på et tilstrækkeligt lille venstre kvarter af # X_0 #, derefter # X = x_0 # hedder en bøjningspunkt af # F #.

I det konkrete tilfælde af #f (x) = x ^ 8 ln (x) #, vi har en funktion, hvis domæne skal begrænses til de positive virkninger #RR ^ + #.

Det første derivat er

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

Det andet derivat er

#f '' (x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56ln (x) +15 #

Lad os studere positiviteten af #F '' (x) #:

• # x ^ 6> 0 iff x ne 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 iff ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

Så i betragtning af at domænet er #RR ^ + #, får vi det

• hvis # 0 <x <e ^ (- 15/56) # derefter #F '' (x) <0 # og # F # er konkav ned;
• hvis #x> e ^ (- 15/56) # derefter #F '' (x)> 0 # og # F # er konkav op;
• hvis # X = e ^ (- 15/56) # derefter #F '' (x) = 0 #. I betragtning af det til venstre for dette punkt #F '' # er negativ og til højre er det positivt, konkluderer vi det # X = e ^ (- 15/56) # er en (faldende) bøjningspunkt