Hvad er hældningen af tangentlinjen af r = (sin ^ 2theta) / (- thetacos ^ 2theta) ved theta = (pi) / 4?

Svar:

Hældningen er #m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #

Forklaring:

Her er en henvisning til tangenter med polære koordinater

Fra referencen får vi følgende ligning:

# dt / dx = ((dr) / (d theta) sin (theta) + rcos (theta)) / ((dr) / (d theta) cos (theta) - rsin (theta)) #

Vi skal beregne # (dr) / (d theta) # men vær opmærksom på det #R (theta) # kan forenkles ved at bruge identiteten #sin (x) / cos (x) = tan (x) #:

#r = -tan ^ 2 (theta) / theta #

= (g '(theta) h (theta) - h' (theta) g (theta)) / (h (theta) / (theta)) theta)) ^ 2 #

#g (theta) = -tan ^ 2 (theta) #

# g '(theta) = -2tan (theta) sec ^ 2 (theta) #

#h (theta) = theta #

#h '(theta) = 1 #

# (dr) / (d theta) = (-2thetatan (theta) sec ^ 2 (theta) + tan ^ 2 (theta)) / (theta)

Lad os evaluere ovenstående på # Pi / 4 #

# sec ^ 2 (pi / 4) = 2 #

#tan (pi / 4) = 1 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) / (pi / 4) ^ 2 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) (16 / (pi2)) #

#r '(pi / 4) = (16-16pi) / (pi2) #

Vurdere r på # Pi / 4 #:

#r (pi / 4) = -4 / pi = - (4pi) / pi ^ 2 #

Bemærk: Jeg lavede ovenstående nævner # Pi ^ 2 # så det var fælles med nævneren af # R '# og vil derfor annullere, når vi sætter dem i følgende ligning:

# dt / dx = ((dr) / (d theta) sin (theta) + rcos (theta)) / ((dr) / (d theta) cos (theta) - rsin (theta)) #

På # Pi / 4 # sines og cosines er lige, derfor vil de annullere.

Vi er klar til at skrive en ligning for hældningen, m:

#m = (16 - 16pi + -4pi) / (16-16pi - -4pi) #

#m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #