Hvad er den generelle løsning af differentialekvationen y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0?

# "Karakteristisk ligning er:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "OR" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "disk af quad. eq. = 1 - 16 = -15 <0" #

# "så vi har to komplekse løsninger, de er" #

#z = (1 pm sqrt (15) i) / 2 #

# "Så den generelle løsning af den homogene ligning er:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

# = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) synd (sqrt (15) x / 2)

# "Den særlige løsning til den komplette ligning er" #

# "y = x," #

# "Det er let at se." #

# "Så den komplette løsning er:" #

# x (x) = x + A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) synd

Svar:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Forklaring:

Vi har:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

Eller, alternativt:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. A

Dette er en tredje Bestil lineær ikke-homogen differensieringsligning med konstante koefficienter. Standardmetoden er at finde en løsning, # Y_c # af den homogene ligning ved at se på hjælpeekvationen, som er polynomækvationen med derivaternes koefficienter. og derefter finde en uafhængig bestemt opløsning, # Y_p # af den ikke-homogene ligning.

Hjælpekvotens rødder bestemmer dele af opløsningen, som, hvis de er lineært uafhængige, udgør opløsningenes overlejring den fulde generelle løsning.

• Virkelige forskellige rødder # m = alfa, beta, … # vil give lineært uafhængige løsninger af formularen # Y_1 = Ae ^ (alphax) #, # Y_2 = Be ^ (betax) #, …
• Ægte gentagne rødder # M = a #, vil give en løsning af formen # Y = (ax + b) e ^ (alphax) # hvor polynomet har samme grad som gentagen.
• Komplekse rødder (som skal forekomme som konjugerede par) # M = p + -qi # vil give par par lineært uafhængige opløsninger af formularen # Y = e ^ (px) (cos (qx) + Bsin (qx)) #

Særlig løsning

For at finde en bestemt løsning af den ikke-homogene ligning:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) # med #f (x) = 4 # ….. C

så som #F (x) # er et polynom af grad #0#, ville vi se efter en polynomisk opløsning af samme grad, dvs. af formen #y = a #

En sådan løsning eksisterer dog allerede i CF-løsningen, og derfor skal man overveje en potentiel løsning af formen # Y = ax #Hvor konstanterne #en# skal bestemmes ved direkte substitution og sammenligning:

Differentiering # Y = ax # wrt #x# vi får:

# y '= en #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Ved at erstatte disse resultater i DE A får vi:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

Og så danner vi den særlige løsning:

# y_p = x #

Generel løsning

Hvilket fører så til GS af A}

# y (x) = y_c + y_p #

# = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Bemærk, at denne løsning har #3# konstanter for integration og #3# lineært uafhængige løsninger, og dermed af eksistensen og unikhedens sætning er deres overlejring den generelle løsning