Hvad er alle værdierne for k for hvilke int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Svar:

Se nedenunder.

Forklaring:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

og

# K ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # men

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2k + 2 ^ 2) # og

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # så

(k2) (k2-2k + 2 ^ 2)

eller

# {(K + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} #

så endelig

reelle værdier # k = {-2,2} #

komplekse værdier # k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} #

Svar:

# k = + - 2 #

Forklaring:

Vi kræver:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

Integration får vi:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 farve (hvid) ("" / "" x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

Forudsat det # k i RR # (der er faktisk #6# rødder, #4# hvoraf er komplekse)

Afhængig af problemets kontekst kan man argumentere for det #K <2 # (dvs. # K = -2 #) er ugyldig som #K> = 2 # at gøre det interne "egnede" således udelukket den løsning, men uden nogen sammenhæng er det rimeligt at inkludere begge løsninger.

Bemærk også det #K = + - 2 # kunne vise sig at være løsninger uden faktisk at udføre nogen integration.

For det første er en egenskab af bestemte integraler det:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

så vi kan straks etablere # K = 2 # er en løsning.

For det andet, # X ^ 5 # er en ulige funktion og ulige funktioner tilfredsstiller:

# f (-x) = f (x) #

og har rotationssymmetri om oprindelsen. som sådan, hvis #F (x) # er mærkeligt så:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

så vi kan straks etablere # K = -2 # er en løsning.

Integrationen og efterfølgende beregninger viser imidlertid, at disse er de eneste løsninger!