Hvordan finder du en power series repræsentation for (arctan (x)) / (x) og hvad er konvergensradius?

Svar:

Integrér kraftserien af derivatet af #arctan (x) # divider derefter med #x#.

Forklaring:

Vi kender power seriens repræsentation af # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # sådan at #absx <1 #. Så # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Så magt serien af #arctan (x) # er (2n + 1) x ^ (2n + 1) x (2n + 1) ^ (2n + 1) x ^ (2n + 1) dx = sum_n (-1) ^ nx ^ #.

Du deler det med #x#, finder du ud af, at kraftserien af #arctan (x) / x # er #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. Lad os sige #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

For at finde konvergensradiusen i denne kraftserie vurderer vi #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. Så hvis vi ønsker at strømserien skal konvergere, har vi brug for #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, så serierne vil konvergere hvis #absx <1 #, hvilket ikke er overraskende, da det er konvergensradiusen i Power Series repræsentationen af #arctan (x) #.