Bevis at Cot 4x (sin 5 x + sin 3 x) = Cot x (sin 5 x - sin 3 x)?

#sin a + sin b = 2 sin ((a + b) / 2) cos ((a-b) / 2) #

#sin a - sin b = 2 sin ((a-b) / 2) cos ((a + b) / 2) #

Højre side:

#cot x (sin 5x - sin 3x) = cot x cdot 2 sin ((5x-3x) / 2) cos ((5x + 3x) / 2) #

# = cos x / sin x cdot 2 sin x cos 4x = 2 cos x cos 4x #

Venstre side:

#cot (4x) (sin 5x + sin 3x) = barneseng (4x) cdot 2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x-3x) / 2) #

# = {cos 4x} / {sin 4x} cdot 2 sin 4x cos x = 2 cos x cos 4 x #

De er ens #quad sqrt #

Svar:

Faktor formel (Sum til produkt og Produkt-til-Sum-identiteter)

Forklaring:

Til dette spørgsmål kan vi bruge Sum-til-produkt og Produkt-til-Sum identiteter.

Jeg er doven, så her er et billede af identiteterne.

Produkt-til-sum-formlen ovenfor kan udledes via sammensatte vinkelidentiteter.

Brug af substitutionen #alpha = a + b # og #beta = a - b #, kan vi få følgende produkt-til-sum formler.

Så nu, da vi har fået det sorteret, lad os anvende vores formler.

#cot (4x) (sin (5x) + synd (3x)) = cos (4x) / sin (4x) (2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x - 3x) / 2)) = cos (4x) cos (x) = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = barneseng (xx) - synd (4x - x)) = barneseng (x) (sin (5x) - synd (3x)) #

Alternativt kan du også anvende sum-til-produkt formel på højre side:

#cot (x) (sin (5x) - sin (3x)) = cos (x) / sin (x) (2 cos ((5x + 3x) / 2) synd ((5x - 3x) / 2)) = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = 2cos (4x) sin (x) = LHS.

# QED #

Bevis at: -cot ^ -1 (theta) = cos ^ -1 (theta) / 1 + (theta) ²?

Lad cot ^ (- 1) theta = A derefter rarrcotA = theta rarrtanA = 1 / theta rarrcosA = 1 / secA = 1 / sqrt (1 + tan ^ 2A) = 1 / sqrt (1+ (1 / theta) ^ 2) rarrcosA = 1 / sqrt ((1 + theta ^ 2 / theta ^ 2) = theta / sqrt (1 + theta ^ 2) rarrA = cos ^ (- 1) (theta / (sqrt (1 + theta ^ 2)) ) = cot ^ (- 1) (theta) rarrthereforecot ^ (- 1) (theta) = cos ^ (- 1) (theta / (sqrt (1 + theta ^ 2)))

Bevis (synd x - csc x) ^ 2 = sin ^ 2x + cot ^ 2x - 1. Kan nogen hjælpe mig med dette?

Vis (sin x - csc x) ^ 2 = sin ^ 2 x + cot ^ 2 x - 1 (sin x - csc x) ^ 2 = (sin x - 1 / sin x) ^ 2 = sin ^ 2 x - 2 sin x (1 / sinx) + 1 / sin ^ 2 x = sin ^ 2 x - 2 + 1 / sin ^ 2 x = sin ^ 2 x - 1 + (-1 + 1 / sin ^ 2 x) = sin ^ 2 x + {1 - sin ^ 2 x} / {sin ^ 2 x} - 1 = sin ^ 2 x + cos ^ 2 x / sin ^ 2 x - 1 = sin ^ 2 x + cot ^ 2 x - 1 quad sqrt

Bevis at cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + cosecx = cot (x / 8) -cotx?

LHS = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + cosecx = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + cosecx + cotx-cotx = cosec (x / 4) + cosec ) + farve (blå) [1 / sinx + cosx / sinx] -cotx = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + farve (blå) [(1 + cosx) / sinx] -cotx = cosec x / 4) + cosec (x / 2) + farve (blå) [(2cos ^ 2 (x / 2)) / (2sin (x / 2) cos (x / 2)) - cotx = cosec 4) + cosec (x / 2) + farve (blå) (cos (x / 2) / sin (x / 2)) - cotx = cosec (x / 4) + farve + cotx (x / 2)) - cotx farve (magenta) "Fremgang på lignende måde som før" = cosec (x / 4) + farve (grøn) barneseng (x / 4) -cotx = barnes