Lad p være en ikke-singulær matrix 1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 + cdots + p ^ n = O (O betegner nullmatrixen), så er p ^ -1?

Svar:

Svaret er # = - (I + p + ……… p ^ (n-1)) #

Forklaring:

Vi ved det

# P ^ -1p = I #

# I + p + p ^ 2 + p ^ 3 ….. p ^ n = O #

Multiplicer begge sider af # P ^ -1 #

# P ^ -1 * (1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 ….. p ^ n) = p ^ -1 * O #

# P ^ -1 * 1 + p ^ -1 * p + p ^ -1 * p ^ 2 + …… p ^ -1 * p ^ n = O #

# P ^ -1 + (p ^ -1p) + (p ^ -1 * p * p) + ……… (p ^ -1p * p ^ (n-1)) = O #

# P ^ -1 + (I) + (I * p) + ……… (I * p ^ (n-1)) = O #

Derfor, # P ^ -1 = - (I + p + ……… p ^ (n-1)) #

Svar:

Se nedenunder.

Forklaring:

#p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = 0 # men # P # ved hypotese er ikke singular eksisterer der # P ^ -1 # så

# p ^ -1 p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1) = 0 #

og endelig

# p ^ - 1 = - sum_ (k = 1) ^ (n-1) p ^ k #

Kan også løses som

# p ^ -1 = -p (sum_ (k = 0) ^ (n-2) p ^ k) = p (p ^ (n-1) + p ^ n) = p ^ n (1-p)