Find ligningen for cirklen med A (2, -3) og B (-3,5) som endepunkter med en diameter?

For at finde ligningen i en cirkel, skal vi finde både radius og centrum.

Da vi har diameterens endepunkter, kan vi bruge midpointformlen til at opnå midtpunktet, som også sker som centrum for cirklen.

Find midtpunktet:

#M = ((2 + (- 3)) / 2, (- 3 + 5) / 2) = (- 1 / 2,1) #

Så er midten af cirklen #(-1/2,1)#

Finde radius:

Da vi har diameterens endepunkter, kan vi anvende afstandsformlen for at finde længden af diameteren. Derefter deler vi længden af diameteren med 2 for at opnå radius. Alternativt kan vi bruge centerets koordinater og et af endepunkterne til at finde radiusens længde (jeg vil overlade det til dig - svarene bliver de samme).

#AB = sqrt ((2 - (- 3)) ^ 2 + (-3-5) ^ 2) #

#:. AB = sqrt (89) #

# Radius = sqrt (89) / 2 #

Den generelle ligning af en cirkel er givet af:

# (X-a) ^ 2 + (y-b) ^ 2 = r ^ 2 #

Så vi har, # (X - (- 1/2)) ^ 2+ (y-1) ^ 2 = (sqrt (89) / 2) #

Derfor er ligningen af cirklen # (X + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 89/4 #

Svar:

# X ^ 2 + y ^ 2 + x-2y-21 = 0 #

Forklaring:

Ligningen af cirklen med #A (x_1, y_1) og B (x_2, y_2) # som

Endpoint af en diameter er

#COLOR (rød) ((x-x_1) (x-x_2) + (y-y_1) (y-y_2) = 0) #.

Vi har, #A (2, -3) og B (-3,5). #

#:.# Den krævede equn.of cirklen er, # (X-2) (x + 3) + (y + 3) (y-5) = 0 #.

# => X ^ 2 + 3x-2x-6 + y ^ 2-5y + 3y-15 = 0 #

# => X ^ 2 + y ^ 2 + x-2y-21 = 0 #

Svar:

# (X + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 89/4 #

Meget fuld forklaring givet

Forklaring:

Der er to ting at løse høre.

1: Hvad er radius (vi skal bruge det)

2: hvor er midten af cirklen.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

#color (blue) ("Bestem center point") #

Dette vil være middelværdierne for x'er og middelværdien af y'erne

Middelværdi af #x#: Vi går fra -3 til 2, som er en afstand på 5. Halvdelen af denne afstand er #5/2# så vi har:

#x _ ("mean") = -3 + 5/2 = -1 / 2 #

Middelværdi af # Y #: vi går fra -3 til 5, hvilket er 8. Halvdelen af 8 er 4, så vi har: #-3+4=+1#

#color (rød) ("Center point" -> (x, y) = (-1 / 2, + 1)) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

#farve (blå) ("Bestem radius") #

Vi bruger Pythagoras til at bestemme afstanden mellem punkterne

# D = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) #

# D = sqrt (2 - (- 3) ^ 2 + - 3-5 ^ 2) #

# D = sqrt (25 + 64) = sqrt (89) # Bemærk at 89 er et primtal

#color (rød) ("Så radius" -> r = D / 2 = sqrt (89) /2 ~~4.7169905 … "Ca.") #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

#color (blue) ("Bestem cirklens ligning") #

Dette er ikke, hvad der virkelig sker, men hvad der følger, hjælper dig med at huske ligningen.

Hvis centret er på # (X, y) = (- 1 / 2,1) # så hvis vi flytter dette punkt tilbage til oprindelsen (krydsning af aksen) har vi:

# (x + 1/2) og (y-1) #

For at gøre dette til ligningen af en cirkel bruger vi Pythagoras (igen) giver:

# R ^ 2 = (x + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Men det ved vi # r = sqrt (89) / 2 "så" r ^ 2 = 89/4 # giver:

# (X + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 89/4 #