Hvad er derivatet af y = sec ^ 2 (x) + tan ^ 2 (x)?

Derivatet af # y = sec ^ 2x + tan ^ 2x # er:

# 4 sek ^ 2xtanx #

Behandle:

Da derivatet af en sum er lig med summen af derivaterne, kan vi bare udlede # Sek ^ 2x # og # Tan ^ 2x # separat og tilføj dem sammen.

For derivatet af # Sek ^ 2x #, vi skal anvende kædelegemet:

#F (x) = f (g (x)) #

#F '(x) = f' (g (x)) g '(x) #,

med den ydre funktion er # X ^ 2 #, og den indre funktion er # Secx #. Nu finder vi derivatet af den ydre funktion, samtidig med at den indre funktion bliver den samme og multiplicerer den med derivatet af den indre funktion. Dette giver os:

#f (x) = x ^ 2 #

#f '(x) = 2x #

#g (x) = secx #

#g '(x) = secxtanx #

Plugging disse i vores Chain Rule formel, har vi:

#F '(x) = f' (g (x)) g '(x) #,

#F '(x) = 2 (secx) secxtanx = 2sec ^ 2xtanx #

Nu følger vi den samme proces for # Tan ^ 2x # sigt, erstatning # Secx # med # Tanx #, ender med:

#f (x) = x ^ 2 #

#f '(x) = 2x #

#g (x) = tanx #

#g '(x) = sec ^ 2x #

#F '(x) = f' (g (x)) g '(x) #,

#F '(x) = 2 (tanx) sec ^ 2x = 2sec ^ 2xtanx #

Tilføjelse af disse udtryk sammen har vi vores endelige svar:

# 2sec ^ 2xtanx + 2sec ^ 2xtanx #

= # 4 sek ^ 2xtanx #