Kan en funktion være kontinuerlig og ikke-differentierbar på et givet domæne ??

Svar:

Ja.

Forklaring:

Et af de mest slående eksempler på dette er Weierstrass-funktionen, opdaget af Karl Weierstrass, som han definerede i sit originale papir som:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (bnn pi x) #

hvor # 0 <a <1 #, # B # er et positivt ulige heltal og #ab> (3pi + 2) / 2 #

Dette er en meget spiky funktion, der er kontinuerlig overalt på Real Line, men differentiable ingen steder.

Svar:

Ja, hvis det har et "bøjet" punkt. Et eksempel er #F (x) = | x | # på # X_0 = 0 #

Forklaring:

Kontinuerlig funktion betyder praktisk taget at tegne det uden at tage blyanten ud af papiret. Matematisk betyder det det for enhver # X_0 # værdierne af #F (x_0) # som de nærmede sig uendeligt små # Dx # fra venstre og højre skal være lige:

#lim_ (x-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) #

hvor minustegnet betyder nærmer sig fra venstre og plustegn betyder nærmer sig fra højre.

Differentierbar funktion betyder praktisk talt en funktion, der jævnligt ændrer sin hældning (IKKE i konstant hastighed). Derfor betyder en funktion, der ikke er differentierbar på et givet punkt, at det pludselig ændrer dets hældning fra venstre af det punkt til højre.

Lad os se 2 funktioner.

#F (x) = x ^ 2 # på # X_0 = 2 #

Kurve

graf {x ^ 2 -10, 10, -5,21, 5,21}

Graf (zoomet)

graf {x ^ 2 0.282, 3.7, 3.073, 4.783}

Siden kl # X_0 = 2 # grafen kan formes uden at tage blyanten af papiret, funktionen er kontinuerlig på det tidspunkt. Da det ikke er bøjet på det tidspunkt, er det også differentiable.

#g (x) = | x | # på # X_0 = 0 #

Kurve

graf {absx -10, 10, -5,21, 5,21}

På # X_0 = 0 # funktionen er kontinuerlig, da den kan trækkes uden at tage blyanten af papiret. Men da det bukker på det tidspunkt, er funktionen ikke differentierbar.