Hvad er orthocenteret af en trekant med hjørner på (5, 2), (3, 7) og (4, 9) #?

Svar:

#(-29/9, 55/9)#

Forklaring:

Find orthocenteret af trekanten med hjørner af #(5,2), (3,7),(4,9)#.

Jeg vil navngive trekanten # DeltaABC # med # A = (5,2) #, # B = (3,7) # og # C = (4,9) #

Orthocenteret er skæringspunktet for højderne af en trekant.

En højde er et linjesegment, som går gennem et trekant af en trekant og er vinkelret på den modsatte side.

Hvis du finder krydset mellem to af de tre højder, er dette orthocenteret, fordi den tredje højde også vil krydse de andre på dette tidspunkt.

For at finde krydset mellem to højder skal man først finde ligningerne af de to linjer, der repræsenterer højderne og derefter løse dem i et system af ligninger for at finde deres kryds.

Først finder vi hældningen af linjesegmentet mellem #A og B # ved hjælp af hældningsformlen # M = frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} #

#m_ (AB) = frac {7-2} {3-5} = - 5/2 #

Hældningen en linje vinkelret på dette linjesegment er det modsatte tegn reciprocral af #-5/2#, som er #2/5#.

Brug af punkthældningsformlen # Y-y_1 = m (x-x_1) # vi kan finde højde ligningen fra vertex # C # til side # AB #.

# Y-9 = 2/5 (x-4) #

# y-9 = 2/5 x -8 / 5 #

# -2 / 5x + y = 37 / 5color (hvid) (aaa) # eller

# y = 2/5 x + 37/5 #

For at finde ligningen af en anden højde, find hældningen på en af de andre sider af trekanten. Lad os vælge BC.

#m_ (BC) = frac {9-7} {4-3} = 2/1 = 2 #

Den vinkelrette hældning er #-1/2#.

At finde højdenes ligning fra vertex #EN# til side # BC #, brug igen punktforskydningsformlen.

# Y-2 = -1 / 2 (x-5) #

# y-2 = -1 / 2x + 5/2 #

# 1/2 x + y = 9/2 #

Systemet med ligninger er

#color (hvid) (a ^ 2) 1/2 x + y = 9/2 #

# -2 / 5x + y = 37/5 #

Løsning af dette system giver #(-29/9, 55/9)#