Svar:
Tjek nedenfor for svar
Forklaring:
Til # X = 0 # vi har
#F (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 #
Vi overvejer en ny funktion #g (x) = x-e ^ (- x) + 1 #, #x##i## RR #
#g (0) = 0 #, #g '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0 #, #x##i## RR #
Som resultat # G # er stigende i # RR #. Således fordi det strengt stiger # G # er "#1-1#" (en til en)
Så, #F (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 # #<=># #g (f (0)) = g (0) # #<=># #F (0) = 0 #
Vi skal vise det # X / 2 <##F (x) <##xf '(x) # # <=> ^ (X> 0) #
#1/2<##F (x) / x <##F '(x) # #<=>#
#1/2<## (F (x) -f (0)) / (x-0) <##F '(x) #
- # F # er kontinuerlig på # 0, x #
- # F # er differentiable i # (0, x) #
Ifølge middelværdets sætning er der # X_0 ##i## (0, x) #
for hvilket #F '(x_0) = (f (x) -f (0)) / (x-0) #
#F (x) -e ^ (- f (x)) = x-1 #, #x##i## RR # så
ved at differentiere begge dele får vi
#F '(x) -e ^ (- f (x)) (- f (x))' = 1 # #<=># #F '(x) + f' (x) e ^ (- f (x)) = 1 # #<=>#
#F '(x) (1 + e ^ (- f (x))) = 1 # # <=> ^ (1 + e ^ (- f (x))> 0) #
#F '(x) = 1 / (1 + e ^ (- f (x))) #
Funktionen # 1 / (1 + e ^ (- f (x))) # er differentiable. Som resultat # F '# er differentiable og # F # er 2 gange differentiable med
#F '' (x) = - ((1 + e ^ (- f (x)))) / (1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #=#
# (F '(x) e ^ (- f (x))) / ((1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #>0#, #x##i## RR #
-> # F '# stiger strenge i # RR # hvilket betyder
# X_0 ##i## (0, x) # #<=># #0<## X_0 <##x# #<=>#
#F '(0) <##F '(x_0) <##F '(x) # #<=>#
# 1 / (1 + e ^ (- f (0))) ##<##F (x) / x <##F '(x) # #<=>#
#1/2<##F (x) / x <##F '(x) # # <=> ^ (X> 0) #
# X / 2 <##F (x) <##xf '(x) #
