Hvad er int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx?

Svar:

#= 1/4#

Forklaring:

# int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx #

# = int_1 ^ e d / dx (1 / 4ln ^ 2x) dx #

# = 1/4 ln ^ 2x _1 ^ e #

# = 1/4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ e = 1/4 #

Svar:

#1/4#

Forklaring:

Kan gøre dette på en række måder, her er to af dem. Den første er at bruge en substitution:

#color (rød) ("Metode 1") #

# int_1 ^ e (ln (x)) / (2x) dx = 1/2 int_1 ^ e (ln (x)) / (x) dx #

Lade #u = ln (x) betyder du = (dx) / x #

Transformere grænserne:

#u = ln (x) betyder, at du: 0 rarr 1 #

Integral bliver:

# 1 / 2int_0 ^ 1 u du = 1/2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1/2 * 1/2 = 1/4 #

Dette er den enklere måde, men du kan måske ikke altid foretage en substitution. Et alternativ er integration af dele.

#color (rød) ("Metode 2") #

Brug integration af dele:

Til funktioner #u (x), v (x) #:

#int uv 'dx = uv - int u'v dx #

#u (x) = ln (x) betyder, at du '(x) = 1 / x #

#v '(x) = 1 / (2x) betyder v (x) = 1 / 2ln (x) #

#int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) - int (ln (x)) / (2x) dx #

Gruppering som udtryk:

# 2 int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) + C #

#therefore int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) + C #

Vi arbejder dog med en bestemt integral, så bruger grænser og fjerner konstanten:

# 1 (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) 1

# = 1 / 4ln (e) ln (e) - 1 / 4ln (1) ln (1) #

#ln (e) = 1, ln (1) = 0 #

#implies int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4 #