Hvordan beviser du arcsin x + arccos x = pi / 2?

Svar:

som vist

Forklaring:

Lade

# Arcsinx = theta #

derefter

# X = sintheta = cos (pi / 2-theta) #

# => Arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => Arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => Arcsinx + arccosx = pi / 2 #

Svar:

Erklæringen er sand, når de inverse trigfunktioner henviser til de vigtigste værdier, men det kræver mere omhyggelig opmærksomhed end det andet svar giver.

Når de omvendte trigfunktioner betragtes som multivalued, får vi et mere nuanceret resultat

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # men #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

Vi skal trække for at få # Pi / 2 #.

Forklaring:

Denne er sværere end den ser ud. Det andet svar betaler det ikke den rette respekt.

En generel konvention er at bruge det lille bogstav #arccos (x) # og #arcsin (x) # som multivalued udtryk, der hver især angiver alle de værdier, hvis cosinus eller sinus har en given værdi #x#.

Betydningen af summen af dem er virkelig enhver mulig kombination, og de ville ikke altid give # Pi / 2. # De vil ikke engang altid give en af de coterminale vinkler # pi / 2 + 2pi k quad # heltal # K #, som vi nu viser.

Lad os se, hvordan det fungerer med de multivalente inverse trig-funktioner først. Husk generelt # cos x = cos a # har løsninger # x = pm a + 2pi k quad # heltal # K #.

# c = arccos x # virkelig betyder

#x = cos c #

#s = arcsin x # virkelig betyder

#x = sin s #

#y = s + c #

#x# spiller rollen som en rigtig parameter, der fejer fra #-1# til #1#. Vi ønsker at løse for # Y #, find alle mulige værdier af # Y # som har en #x, s # og # C # det gør disse samtidige ligninger #x = cos c, x = sin s, y = s + c # rigtigt.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

Vi bruger vores overordnede generelle løsning om ligestilling af kosinister.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # heltal # K #

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

Så vi får det meget mere nøgen resultat, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(Det er tilladt at vende skiltet på # K. #)

Lad os nu fokusere på de vigtigste værdier, som jeg skriver med store bogstaver:

At vise #text {Arc} tekst {sin} (x) + tekst {Arc} tekst {cos} (x) = pi / 2 #

Erklæringen er sandt rigtig for de vigtigste værdier defineret på den sædvanlige måde.

Summen er kun defineret (indtil vi bliver temmelig dybt ind i komplekse tal) for # -1 le x le 1 # fordi de gyldige sines og cosines er i dette område.

Vi ser på hver side af ækvivalenten

# tekst {Arc} tekst {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x) #

Vi tager begge sideres cosinus.

#cos (tekst {Arc} tekst {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x)) = synd (tekst {Arc} tekst {sin} (x)) = x #

Så uden at bekymre sig om tegn eller hovedværdier er vi sikre

#cos (tekst {Arc} tekst {cos} (x)) = cos (pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x)) #

Den vanskelige del, den del, der fortjener respekt, er det næste skridt:

#text {Arc} tekst {cos} (x) = pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x) quad # IKKE SIKKER ENDNU

Vi er nødt til at træde forsigtigt. Lad os tage det positive og negative #x# separat.

Først # 0 le x le 1 #. Det betyder, at de primære værdier for begge omvendte trigfunktioner er i den første kvadrant mellem #0# og # Pi / 2. # Begrænset til den første kvadrant betyder enslige cosinuser lige vinkler, så vi konkluderer med #x ge 0, #

#text {Arc} tekst {cos} (x) = pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x) quad #

Nu # -1 le x <0. # Hovedværdien af det omvendte tegn er i fjerde kvadrant og for #x <0 # vi definerer normalt hovedværdien i området

# - pi / 2 le tekst {Arc} tekst {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - tekst {Arc} tekst {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x) le pi #

Hovedværdien for den negative inverse cosinus er den anden kvadrant, # pi / 2 <tekst {Arc} tekst {cos} (x) le pi #

Så vi har to vinkler i den anden kvadrant, hvis cosinus er lige, og vi kan konkludere, at vinklerne er ens. Til #x <0 #, #text {Arc} tekst {cos} (x) = pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x) quad #

Så hverken måde, # tekst {Arc} tekst {sin} (x) + tekst {Arc} tekst {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #