Hvordan finder du grænsen lim_ (h-> 0) (sqrt (1 + h) -1) / h?

Svar:

# Frac {1} {2} #

Forklaring:

Grænsen præsenterer en udefineret form #0/0#. I dette tilfælde kan du bruge de l'hospitalets sætning, der hedder

#lim frac {f (x)} {g (x)} = lim frac {f '(x)} {g'

Tællerens derivat er

# Frac {1} {2sqrt (1 + h)} #

Mens afledte af nævneren er simpelthen #1#.

Så, {fra} {g '(x)} = lim_ {x til 0} frac { frac {1} {2sqrt (1 + h)} } {1} = lim_ {x til 0} frac {1} {2sqrt (1 + h)} #

Og således simpelthen

# Frac {1} {2sqrt (1)} = frac {1} {2} #

Svar:

# = 1/2 #

Forklaring:

Hvis du ikke er opmærksom på, at jeg regner med …

Brug:

# (1 + x) ^ n = 1 + nx + (n (n-1)) / (2!) X ^ 2 + … #

# => (1 + h) ^ (1/2) = 1 + 1 / 2h - 1/8 h ^ 2 + … #

# => lim_ (h til 0) ((1 + 1/2 h - 1 / 8h ^ 2 + …) - 1) / h #

# => lim_ (h til 0) (1/2 h - 1 / 8h ^ 2 + …) / h #

# => lim_ (h til 0) (1/2 - 1/8 h + …) #

# = 1/2 #