Ud af 7 lotteri-billetter 3 er prisvindende billetter. Hvis nogen køber 4 billetter, hvad er sandsynligheden for at vinde mindst to præmier?

Svar:

# P = 22/35 #

Forklaring:

Så har vi #3# vindende og #4# Ikke-vindende billetter blandt #7# billetter tilgængelige.

Lad os adskille problemet i fire uafhængige gensidigt eksklusive tilfælde:

(a) der er #0# vindende billetter blandt dem #4# købt

(så alle sammen #4# købte billetter er fra en pool af #4# ikke-vindende billetter)

(b) der er #1# vindende billet blandt dem #4# købt

(så, #3# købte billetter er fra en pool af #4# ikke-vindende billetter og #1# billet er fra en pulje af #3# vindende billetter)

(c) der er #2# vindende billetter blandt dem #4# købt

(så, #2# købte billetter er fra en pool af #4# ikke-vindende billetter og #2# billetter er fra en pool af #3# vindende billetter)

(d) der er #3# vindende billetter blandt dem #4# købt

(så, #1# købt billet er fra en pulje af #4# ikke-vindende billetter og #3# billetter er fra en pool af #3# vindende billetter)

Hver af de ovennævnte begivenheder har sin egen sandsynlighed for forekomsten.Vi er interesserede i begivenhederne (c) og (d), summen af sandsynlighederne for deres forekomst er, hvad problemet handler om. Disse to uafhængige begivenheder udgør arrangementet "vinder mindst to præmier". Da de er uafhængige, er en kombineret begivenhed sandsynlighed en sum af de to komponenter.

Sandsynligheden af hændelsen (c) kan beregnes som et forhold mellem antallet af kombinationer af #2# købte billetter er fra en pool af #4# ikke-vindende billetter og #2# billetter er fra en pool af #3# vindende billetter (# N_c #) til det samlede antal kombinationer af #4# ud af #7# (N).

# P_c = C_3 ^ 2 * C_4 ^ 2 #

Tælleren # N_c # svarer til antallet af kombinationer af #2# vindende billetter ud af #3# ledig # C_3 ^ 2 = (3!) / (2! * 1!) = 3 # ganget med antallet af kombinationer af #2# Ikke-vindende billetter ud af #4# ledig # C_4 ^ 2 = (4!) / (2! * 2!) = 6 #.

Så tælleren er

# N_c = C_3 ^ 2 * C_4 ^ 2 = 3 * 6 = 18 #

Nævneren er

# N = C_7 ^ 4 = (7!) / (4! * 3!) = 35 #

Så er sandsynligheden for begivenhed (c)

# P_c = N_c / N = (3 * 6) / 35 = 18/35 #

Tilsvarende har vi for sag (d)

# N_d = C_3 ^ 3 * C_4 ^ 1 = 1 * 4 = 4 #

# P_d = N_d / N = 4/35 #

Det samlede antal sandsynligheder for hændelser (c) og (d) er

# P = P_c + P_d = 18/35 + 4/35 = 22/35 #