Er sqrt21 rigtigt tal, rationelt tal, hele tal, heltal, irrationelt tal?

Svar:

Det er et irrationelt tal og derfor reelt.

Forklaring:

Lad os først bevise det #sqrt (21) # er et reelt tal, faktisk er kvadratroden af alle positive reelle tal reelle. Hvis #x# er et reelt tal, så definerer vi for de positive tal #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #. Det betyder, at vi ser på alle reelle tal # Y # sådan at # Y ^ 2 <= x # og tag det mindste reelle tal, der er større end alle disse # Y #s, den såkaldte supremum. For negative tal, disse # Y #s eksisterer ikke, da for alle reelle tal, tager kvadratet af dette tal et positivt tal, og alle positive tal er større end negative tal.

For alle positive tal er der altid nogle # Y # der passer til tilstanden # Y ^ 2 <= x #, nemlig #0#. Derudover er der en øvre grænse for disse tal, nemlig # x + 1 #, da hvis # 0 <= y <1 #, derefter # X + 1> y #, hvis #Y> = 1 #, derefter #Y <= y ^ 2 <= x #, så # X + 1> y #. Vi kan vise, at for hvert afgrænset ikke-tomt sæt reelle tal er der altid et unikt reelt tal, der fungerer som et overordnet, på grund af den såkaldte fuldstændighed af # RR #. Så for alle positive reelle tal #x# der er en ægte #sqrt (x) #. Vi kan også vise det i dette tilfælde #sqrt (x) ^ 2 = x #, men medmindre du vil have mig til, vil jeg ikke bevise dette her. Endelig bemærker vi det #sqrt (x)> = 0 #, siden #0# er et tal, der passer til betingelsen som tidligere nævnt.

Nu for irrationaliteten af #sqrt (21) #. Hvis det ikke var irrationelt (så rationelt), kunne vi skrive det som #sqrt (21) = a / b # med #en# og # B # hele tal og # A / b # forenklet så meget som muligt, hvilket betyder det #en# og # B # Har ingen fælles divisor, undtagen #1#. Nu betyder det det # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.

Nu bruger vi noget, der hedder den primære faktorisering af de naturlige tal. Det betyder, at vi kan skrive ned hvert positivt hele tal som et unikt produkt af primtal. Til #21# dette er #3*7# og for #en# og # B # Dette er noget vilkårlig produkt af primater # A = a_1 * … * a_n # og # B = b_1 * … * b_m #. Den kendsgerning, at den eneste fælles divisor af #en# og # B # er #1# svarer til det forhold, at #en# og # B # del ingen primere i deres faktorisering, så der er # A_i # og # B_j # sådan at # A_i = b_j #. Det betyder at # En ^ 2 # og # B ^ 2 # Del heller ikke nogen primater, da # A ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # og # B ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #., derfor den eneste fælles deltager af # En ^ 2 # og # B ^ 2 # er #1#. Siden # A ^ 2 = 21 b ^ 2 #, Det betyder # B ^ 2 = 1 #, så # B = 1 #. Derfor #sqrt (21) = a #. Bemærk at dette kun gælder under forudsætning af at #sqrt (21) # er rationel.

Nu kunne vi selvfølgelig løbe igennem alle hele positive tal mindre end #21# og se om kvadrering giver dem #21#, men det er en kedelig metode. For at gøre det på en mere interessant måde, vender vi igen til vores primer. Vi ved det # A ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # og #21=3*7#, så # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n #. På venstre side forekommer alle primater kun én gang, på højre hånd sker hvert primært mindst to gange, og altid en jævn mængde gange (hvis # A_1 = a_n # det ville forekomme mindst fire gange). Men som vi har sagt, er disse primære faktoreringer unikke, så det kan ikke være rigtigt. Derfor # 21nea ^ 2 #, så #anesqrt (21) #, hvilket betyder, at vores tidligere antagelse om #sqrt (21) # at være rationel viser sig derfor at være forkert #sqrt (21) # er irrationel.

Bemærk at det samme argument gælder for et positivt hele tal #x# med en primær faktorisering, hvor et af primerne opstår et ujævnt antal gange, da kvadratet af et helt tal altid har alle sine primære faktorer, der adskiller en jævn mængde gange. Heraf konkluderer vi, at hvis #x# er et positivt hele tal (#x inNN #) har en primær faktor, der forekommer kun en ujævn mængde gange, #sqrt (x) # vil være irrationel.

Jeg er klar over, at dette bevis kan virke lidt længe, men det bruger vigtige begreber fra matematik. Sandsynligvis er det ikke i nogen højere læreplan, at disse typer af tanker er inkluderet (jeg er ikke 100% sikker på, jeg kender ikke læseplanen på hver gymnasium i verden), men for de egentlige matematikere er det at bevise ting er en af de vigtigste aktiviteter, de gør. Derfor ønskede jeg at vise dig, hvilken slags matematik der ligger bag at tage kvadratroten af ting. Hvad du skal tage væk fra dette, er det faktisk #sqrt (21) # er et irrationelt tal.