Hvordan integrerer jeg dette?

Hvordan integrerer jeg dette?
Anonim

Svar:

# I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 3 ^ 2) + C #

Forklaring:

Vi vil gerne løse

# I = int2 ^ xcos (3x) dx = inte ^ (ln (2) x) cos (3x) dx #

Lad os prøve det mere generelle problem

# I_1 = inte ^ (ax) cos (bx) dx #

Hvor vi søger løsningen

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + cos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C #

Tricket er at bruge integration af dele to gange

# Intudv = uv-intvdu #

Lade # U = e ^ (ax) # og # Dv = cos (bx) dx #

Derefter # Du = ae ^ (ax) dx # og # V = 1 / bsin (bx) #

# I_1 = 1 / være ^ (ax) sin (bx) -a / Binte ^ (ax) sin (bx) dx #

Anvend integration af dele til det resterende integral

# I_2 = a / Binte ^ (ax) sin (bx) dx #

Lade # U = e ^ (ax) # og # Dv = sin (bx) dx #

Derefter # Du = ae ^ (ax) dx # og # V = -1 / bcos (bx) #

# I_2 = a / b (-1 / være ^ (ax) cos (bx) + a / Binte ^ (ax) cos (bx) dx) #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2inte ^ (ax) cos (bx) dx #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

Erstatte dette i det oprindelige integreret og løse for # I_1 #, det er lidt længe, men vi tager det trin for trin

# I_1 = 1 / være ^ (ax) sin (bx) - (- a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2I_1) #

# I_1 = 1 / være ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) -a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

# I_1 + a ^ 2 / b ^ 2I_1 = 1 / være ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + C #

# (A ^ 2 + b ^ 2) / b ^ 2I_1 = 1 / være ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + C #

# I_1 = b ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) (1 / være ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx)) + C #

# I_1 = 1 / (a ^ 2 + b ^ 2) (være ^ (ax) sin (bx) + ae ^ (ax) cos (bx)) + C #

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + cos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C #

Til dit problem # A = ln (2) # og # B = 3 #

# I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 9) + C #

Forhåbentlig er der ikke mange fejl

Se svaret nedenfor: Vi har løst ved hjælp af diskrete elementer i stedet for en generel formulering, og vi forenklet ikke det endelige resultat som følger: