To hjørner af en trekant har vinkler på (3 pi) / 4 og pi / 6. Hvis den ene side af trekanten har en længde på 9, hvad er den længste mulige omkreds af trekanten?

Svar:

Længste mulige omkreds er # (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #

Forklaring:

Med de givne to vinkler kan vi finde den tredje vinkel ved at bruge begrebet, at summen af alle tre vinkler i en trekant er # 180 ^ @ eller pi #:

# (3pi) / 4 + pi / 6 + x = pi #

#x = pi - (3pi) / 4 - pi / 6 #

#x = pi - (11pi) / 12 #

#x = pi / 12 #

Derfor er den tredje vinkel # Pi / 12 #

Lad os nu sige

# / _ A = (3pi) / 4, / _B = pi / 6 og / _C = pi / 12 #

Brug af Sine Rule har vi, # (Sin / _A) / a = (Sin / _B) / b = (Sin / _C) / c #

hvor, a, b og c er længden af siderne modsatte # / _ A, / _B og / _C # henholdsvis.

Ved hjælp af ovenstående sæt af ligninger har vi følgende:

#a = a, b = (Sin / _B) / (Sin / _A) * a, c = (Sin / _C) / (Sin / _A) * a #

# a = a, b = (Sin (pi / 6)) / (Sin ((3pi) / 4)) * a, c = (Sin (pi / 12)) /)*en#

#rArr a = a, b = a / (sqrt2), c = (a * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

Nu for at finde den længste mulige omkreds af trekanten

#P = a + b + c #

Antages, #a = 9 #, vi har

#a = 9, b = 9 / sqrt2 og c = (9 * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

#rArrP = 9 + 9 / (sqrt2) + (9 * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

#or P = (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / 2 #

#or P ~~ 18.66 #

Antages, #b = 9 #, vi har

#a = 9sqrt2, b = 9 og c = (9 * (sqrt (3) - 1)) / sqrt2 #

#rArrP = 9sqrt2 + 9 + (9 * (sqrt (3) - 1)) / sqrt2 #

#or P = (9 (2 + sqrt 2 + sqrt 6)) / 2 #

#or P ~~ 26.39 #

Antages, #c = 9 #, vi har

#a = 18 / (sqrt3 - 1), b = (9sqrt2) / (sqrt3-1) og c = 9 #

#rArrP = 18 / (sqrt3 - 1) + (9sqrt2) / (sqrt3 - 1) + 9 #

#or P = (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #

#or P ~~ 50.98 #

Derfor er længst mulig omkreds af den givne trekant # (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #

To hjørner af en trekant har vinkler på (2 pi) / 3 og (pi) / 4. Hvis den ene side af trekanten har en længde på 12, hvad er den længste mulige omkreds af trekanten?

Længst mulig perimeter er 12 + 40.155 + 32.786 = 84.941. Da to vinkler er (2pi) / 3 og pi / 4, er tredje vinkel pi-pi / 8-pi / 6 = (12pi-8pi-3pi) / 24- = pi / 12. For længste omkreds side af længde 12, sig en, skal være modsat mindste vinkel pi / 12 og derefter bruge sinusformel vil andre to sider være 12 / (sin (pi / 12)) = b / (sin (2pi) / 3)) = c / (sin (pi / 4)) Derfor er b = (12sin ((2pi) / 3)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.866) /0.2588=40.155 og c = 12xxsin (pi / 4)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.7071) /0.2588=32.786 Således længst mulig omkreds er 12 + 40,155 + 32,786 = 84,941.

To hjørner af en trekant har vinkler på (2 pi) / 3 og (pi) / 4. Hvis den ene side af trekanten har en længde på 4, hvad er den længste mulige omkreds af trekanten?

P_max = 28.31 enheder Problemet giver dig to ud af de tre vinkler i en vilkårlig trekant. Da summen af vinklerne i en trekant skal tilføje op til 180 grader eller pi radianer, kan vi finde den tredje vinkel: (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi x = pi- (2pi) / 3- pi / 4 x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 x = pi / 12 Lad os tegne trekanten: Problemet angiver, at en af siderne af trekanten har en længde på 4, men det angiver ikke hvilken side. Men i en given trekant er det sandt, at den mindste side er modsat fra den mindste vinkel. Hvis vi ønsker at maksimere omkredsen, skal vi gøre siden med l&#

To hjørner af en trekant har vinkler på (2 pi) / 3 og (pi) / 4. Hvis den ene side af trekanten har en længde på 19, hvad er den længste mulige omkreds af trekanten?

Langest mulige perimeterfarve (grøn) (P = 19 + 51.909 + 63.5752 = 134.4842) Tre vinkler er (2pi) / 3, pi / 4, pi / 12 som de tre vinkler tilføjer op til pi ^ For at få den længste omkreds, side 19 skal svare til den mindste vinkel pi / 12 19 / sin (pi / 12) = b / sin (pi / 4) = c / sin ((2pi) / 3) b = (19 * sin (pi / 4) ) / sin (pi / 12) = 51.909 c = (19 * sin ((2pi) / 3)) / sin (pi / 12) = 63.5752 Langest mulige perimeterfarve (grøn) (P = 19 + 51,909 + 63,5752 = 134,4842 )