Hvis du ruller en enkelt dør, hvad er det forventede antal ruller, der er nødvendige for at rulle hvert nummer en gang?

Svar:

# 14.7 "ruller" #

Forklaring:

#P "alle tal kastet" = 1 - P "1,2,3,4,5 eller 6 ikke kastet" #

#P "A eller B eller C eller D eller E eller F" = P A + P B + … + P F - #

#P A og B - P A og C …. + P A og B og C + … #

# "Her er dette" #

(6/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# = 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6-1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4/6-1) + … #

(N / 1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# "Det negative af dette er vores sandsynlighed." #

#sum n * a ^ (n-1) = sum (d / {da}) (a ^ n) #

= 1 / (1-a) 2 =

# => E n = sum n * P "alle tal kastet efter n kaster" #

# = sum n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "Vi er nødt til at trække en på grund af starten tilstand P_1 (0)" #

# "giver en defekt værdi P = 1 for n = 1." #

# => P = 15,7 - 1 = 14,7 #

Svar:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

Forklaring:

Tænk på det som seks minispil. For hvert spil ruller vi dysen, indtil vi ruller et nummer, der endnu ikke er rullet - hvad vi kalder en "sejr". Så starter vi det næste spil.

Lade #X# Vær antallet af ruller, der er nødvendige for at rulle hvert nummer mindst en gang (dvs. vinde alle 6 minispil) og lad # X_i # være antallet af ruller, der er nødvendige for at "vinde" mini-spil nummer #jeg# (til #jeg# fra 1 til 6). Så hver # X_i # er en geometrisk tilfældig variabel med distribution # "Geo" (p_i) #.

Den forventede værdi af hver geometrisk tilfældig variabel er # 1 / p_i #.

Til det første spil, # p_1 = 6/6 # da alle 6 resultater er "nye". Dermed, # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

For det andet spil er 5 ud af de 6 resultater nye, så # P_2 = 5/6 #. Dermed, # "E" (X_2) = 6/5 = 1,2 #.

For det tredje spil er 4 af de 6 mulige ruller nye # P_3 = 4/6 #, betyder # "E" (X_3) = 6/4 = 1,5 #.

På dette tidspunkt kan vi se et mønster. Da antallet af "vindende" ruller falder med 1 for hvert nyt spil, falder sandsynligheden for at "vinde" hvert spil ned fra #6/6# til #5/6#, derefter #4/6#, osv., hvilket betyder, at det forventede antal ruller pr. spil går fra #6/6# til #6/5#, til #6/4#, og så videre, indtil det sidste spil, hvor vi forventer at tage 6 ruller for at få det sidste nummer.

Dermed:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

#xor (hvid) ("E" (X)) = "E" (X_1) + "E" (X_2) + … + "E" (X_5) + "E" (X_6)

#color (hvid) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

#color (hvid) ("E" (X)) = 1 + 1,2 + 1,5 + 2 + 3 + 6 #

#farve (hvid) ("E" (X)) = 14.7 #