Hvorfor skal du finde den trigonometriske form for et komplekst tal?

Afhængigt af hvad du skal gøre med dine komplekse tal, kan den trigonometriske form være meget nyttig eller meget tøff.

For eksempel lad # Z_1 = 1 + i #, # Z_2 = sqrt (3) + i # og # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

Lad os beregne de to trigonometriske former:

# Theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # og # Rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# Theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # og # Rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # og # Rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

Så de trigonometriske former er:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

Addition

Lad os sige, at du vil beregne # Z_1 + z_2 + z_3 #. Hvis du bruger den algebraiske form, får du det

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

Ret nemt. Prøv nu med den trigonometriske formular …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 2/3 pi) + jeg synd (2/3 pi)) #

det viser sig, at den korteste måde at tilføje disse to udtryk på er at løse cosines og sines, hvilket betyder … at vende sig til den algebraiske form!

Den algebraiske form er ofte den bedste form til at vælge ved at tilføje komplekse tal.

Multiplikation

Nu forsøger vi at beregne # Z_1 * z_2 * z_3 #. Brug af algebraiske former kræver mange irriterende beregninger. Men at løse dette produkt med de trigonometriske former er enklere:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) * 2 2/3 pi) + i synd (2/3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i synd (pi / 4 + pi / 6 + 2 / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

Ingredienserne til at bevise, at den anden ligestilling holder sig fra trigonometri: de to additionsformler

#sin (alfa + beta) = synd (alfa) cos (beta) + sin (beta) cos (alfa) #

#cos (alpha + beta) = cos (alpha) cos (beta) -sin (alpha) sin (beta) #

Multiplikation af komplekse tal er endnu renere (men konceptuelt ikke nemmere) i eksponentiel form.

I en vis forstand er den trigonometriske form en slags form mellem de algebraiske og de eksponentielle former. Den trigonometriske form er vejen til at skifte mellem disse to. I den forstand er det en slags "ordbog" at "oversætte" formularer.