Hvordan finder jeg integreret int (ln (x)) ^ 2dx?

Vores mål er at reducere kraften i #ln x # så integreret er lettere at evaluere.

Vi kan opnå dette ved hjælp af integration af dele. Husk IBP formel:

#int du dv = uv - int v du #

Nu vil vi lade #u = (lnx) ^ 2 #, og #dv = dx #.

Derfor, #du = (2lnx) / x dx #

og

#v = x #.

Nu samler vi stykkerne sammen, vi får:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx #

Denne nye integral ser meget bedre ud! Forenkle en smule og bringe den konstante ud foran giver:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx #

Nu, for at slippe af med dette næste integral, vil vi gøre en anden integration af dele, udlejning #u = ln x # og #dv = dx #.

Dermed, #du = 1 / x dx # og #v = x #.

Samling giver os:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 (xlnx - int x / x dx) #

Nu er alt, hvad der er tilbage at gøre, forenklet, idet man husker at tilføje integrationens konstant:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2xlnx + 2x + C #

Og der har vi det. Husk, integration af dele handler om at plukke # U # så at rotte ting fjernes fra integrand. I dette tilfælde bragte vi # (ln x) ^ 2 # ned til #ln x #, og derefter ned til # 1 / x #. I sidste ende nogle #x#er annulleret, og det blev lettere at integrere.