Hvad er derivatet af f (x) = csc ^ -1 (x)?

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Behandle:

1.) #y = "arccsc" (x) #

Først vil vi omskrive ligningen i en form, der er lettere at arbejde med.

Tag begge sideres kosekant:

2.) #csc y = x #

Omskriv hvad angår sinus:

3.) # 1 / siny = x #

Løs for # Y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = sin y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

Nu skal afledningen være lettere. Det er nu bare et spørgsmål om kæderegel.

Vi ved det # d / dx arcsin alpha = 1 / sqrt (1 - alfa ^ 2) # (der findes et bevis på denne identitet her)

Så tag derivatet af ydersiden, multiplicer derefter med derivatet af # 1 / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Derivatet af # 1 / x # er det samme som derivatet af #x ^ (- 1) #:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

Forenkling 8. giver os:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

For at gøre udsagnet lidt smukkere, kan vi bringe kvadratet af # X ^ 2 # inde i radikalet, selvom det ikke er nødvendigt:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2)))

Forenkling af udbytte:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Og der er vores svar. Husk, at derivatproblemer, der involverer inverse trigfunktioner, hovedsagelig er en øvelse i din viden om trig identiteter. Brug dem til at nedbryde funktionen i en form, der er let at differentiere.