Uden brug af løserfunktionen af en regnemaskine, hvordan løser jeg ligningen: x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = 0?

Svar:

Nullerne er # X = 5 #, # x = -2 #, # X = 1 + -sqrt (2) i #

Forklaring:

#f (x) = x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 #

Vi får at vide det # (X-5) # er en faktor, så adskilt det:

# x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = (x-5) (x ^ 3-x + 6) #

Vi får at vide det # (X + 2) # er også en faktor, så adskilt det ud:

# x ^ 3-x + 6 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 3) #

Diskriminanten af den resterende kvadratiske faktor er negativ, men vi kan stadig bruge den kvadratiske formel til at finde de komplekse rødder:

# X ^ 2-2x + 3 # er i form # Ax ^ 2 + bx + c # med # A = 1 #, # B = -2 # og # c = 3 #.

Rødderne er givet ved den kvadratiske formel:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (2 + -qr ((- 2) ^ 2- (4 * 1 * 3))) / (2 * 1) #

# = (2 + -sqrt (4-12)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (-8)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (8) i) / 2 #

# = (2 + -2sqrt (2) i) / 2 #

# = 1 + -sqrt (2) i #

Lad os prøve uden at vide det # (X-5) # og # (X + 2) # er faktorer.

Den konstante betegnelse svarer til produktets rødder, så

# 30 = r_1 * r_2 * r_3 * r_4 #.

Denne koefficient er et helt tal, hvis faktorer er #pm 1, pm 2, pm 5, pm3 # Forsøger disse værdier kan vi se det

#p (-2) = p (5) = 0 # opnåelse af to rødder.

Vi kan repræsentere polynomet som

# x ^ 4 - 5 x ^ 3 - x ^ 2 + 11 x - 30 = (x-5) (x + 2) (x² + a x + b) #

Beregning af højre side og sammenligning af begge sider vi opnår

# -5 = a-3 #

# -1 = b-3a-10 #

# 11 = -10a-3b #

# -30 = -10b #

Løsning for # (A, b) # vi får # A = -2, b = 3 #

Evaluering af rødderne af # X ^ 2-2x + 3 = 0 # vi får # 1 - i sqrt 2, 1 + i sqrt 2 #